【导语】“lj2005”通过精心收集，向本站投稿了9篇新北师大九年级数学教案，今天小编在这给大家整理后的新北师大九年级数学教案，我们一起来阅读吧!
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篇1：新北师大版九年级数学教案
1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.
2.通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.
3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.
重点
利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.
难点
如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系.
一、引入新课
1.列方程解应用题的基本步骤有哪些?应注意什么?
2.科学家在细胞研究过程中发现：
(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞?
(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞?
(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞?
二、教学活动
活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题.
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(1)如何理解“两轮传染”?如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感.第二轮传染后共有________人患流感.
(2)本题中有哪些数量关系?
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?
解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x+1)人患了流感，第二轮有x(1+x)人被传染上了流感.于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121
解方程得x1=10，x2=-12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.
变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感?
活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题.
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率?它们相等吗?
(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元;两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元.
(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x);
二月(或二年)后产量为a(1±x)2;
n月(或n年)后产量为a(1±x)n;
如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M=a(1±x)n.
(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际.
2.传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立.
3.若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n=b(常见n=2).
4.成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小.
作业布置
教材第21-22页习题21.3第2-7题.第2课时 解决几何问题
1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.
2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.
3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.
重点
通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力.
难点
在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程.
活动1 创设情境
1.长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________.
2.如图所示：
(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________.
(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________.
活动2 自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题
要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm).
(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________.
(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7?试与同伴交流一下.
(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.
(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.
(5)你能写出解题过程吗?(注意对结果是否合理进行检验.)
(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽?
活动3 变式练习
如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度.
答案：路的宽度为5米.
活动4 课堂小结与作业布置
课堂小结
1.利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系.
2.根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验.
作业布置
教材第22页习题21.3第8，10题.
篇2：2020北师大版九年级数学教案
2020北师大九年级下册数学教案：正弦和余弦
一、素质教育目标
(一)知识教学点
使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.
(二)能力训练点
逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.
三、教学步骤
(一)明确目标
1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米?
2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少?
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少?
4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度?
前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.
通过四个例子引出课题.
(二)整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其
顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴
形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.
练习题为 作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.
(四)总结与扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.
四、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.
五、板书设计
2020人教版九年级数学教案：函数
教学目标：
1、进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式;
2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围.
3、会求函数值，并体会自变量与函数值间的对应关系.
4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量的取值范围的求法.
5、通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.
教学重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值.
教学难点：函数概念的抽象性.
教学过程：
(一)引入新课：
上一节课我们讲了函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
生活中有很多实例反映了函数关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与函数吗?
1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y(元)与学生数n(个)的关系.
2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n(个)与单价(a)元的关系.
解：1、y=30n
y是函数，n是自变量
2、，n是函数，a是自变量.
(二)讲授新课
刚才所举例子中的函数，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.
例1、求下列函数中自变量x的取值范围.
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
分析：在(1)、(2)中，x取任意实数， 与 都有意义.
(3)小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ，因此要求 .
同理(4)小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 .
第(5)小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 .
同理，第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数,
.
解：(1)全体实数
(2)全体实数
(3)
(4) 且
(5)
(6)
小结：从上面的例题中可以看出函数的解析式是整数时，自变量可取全体实数;函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零;函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零.
注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么?然后再要求分式的分母不为零.求出使函数成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.
但象第(4)小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成 或 .在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里 与 是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.
例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每次一辆0.3元.
(1)若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式;
(2)若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.
解：(1)
(x是正整数，
(2)若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，
则
收入在1225元至1330元之间
总结：对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析.
对于函数 ，当自变量 时，相应的函数y的值是 .60叫做这个函数当 时的函数值.
例3、求下列函数当 时的函数值：
(1) (2)
(3) (4)
解：1)当 时，
(2)当 时，
(3)当 时，
(4)当 时，
注：本例既锻炼了学生的计算能力，又创设了情境，让学生体会对于x的每一个值，y都有确定的值与之对应.以此加深对函数的理解.
(二)小结：
这节课，我们进一步地研究了有关函数的概念.在研究函数关系时首先要考虑自变量的取值范围.因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的函数值.另外，对于反映实际问题的函数关系，要具体问题具体分析.
人教版九年级数学上册教案：直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重点
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想.
难点
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题.
问题1：填空
(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.
解：根据完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.
问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=-2
例1 解方程：(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2
分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.
(2)由已知，得：(x+3)2=2
直接开平方，得：x+3=±2
即x+3=2，x+3=-2
所以，方程的两根x1=-3+2，x2=-3-2
解：略.
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率.
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材第6页 练习.
四、课堂小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±p，达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.
五、作业布置
篇3：北师大版九年级下册数学教案
学习目标
1.通过实验、操作、思考活动认识位似形.
2.会利用位似形原理将一个图形放大或缩小.
4.懂得数学在现实生活中的作用，增强学好数学的信心.
重点：理解位似是由位似中心和相似比决定的.
难点：作位似图形以及求位似图形的相似比.
一预习展示：
1.课本110页数学实验室.
2..课本110页实践与思考.
二探究学习：
1.如图，已知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1∶2.
2.如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2，1).
(1)以O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形;
(2)分别写出B、C两点的对应点B‘、C‘的坐标;
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出M的对应点M’的坐标.
3、在AB=30m，AD=20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路.
(1)如果四周的小路的宽均相等，如图(1)，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗?请说明理由.
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，如图(2)，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD位似?请说明理由.
三课堂作业：
1.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在 A.原图形的外部 B.原图形的内部 C.原图形的边上 D.任意位置
2.两个图形是位似图形，则它们一定相似，反过来，两个图形相似，则它们
A.一定位似 B. 一定不位似 C.不一定位似 D.对应点的连线交于一点
3.如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(6，4)，C(0，4)，画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA’B‘C’，使它面积等于矩形OABC面积的 ，并分别写出A’、B‘、C’三点的坐标.
4.印刷一张矩形的广告牌，如图，它的印刷面积是32dm2，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm，设印刷部分从上到下的长为xdm。四周空白处的面积为Sdm2.
(1)求S与x的关系式;
(2)当要求四周空白处的面积为18dm2时，求印刷这张广告牌的纸张的长和宽各是多少?
(3)在(2)的条件下，内外两个矩形是位似形吗?说明理由.
篇4：北师大版九年级下册数学教案
教学目标
1、通过具体实例认识图形的旋转变换;培养动手能力和合情推理能力以及数学说理的习惯和能力。
2、通过各种图形的旋转，体验感受图形旋转的主要因素是旋转中心和旋转角度。
教学过程
一、创设情境
在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多物体的旋转的现象：宇宙中的星球运动 ，微观世界里的粒子运动 ，生活中的运动。
在下图中图形都可以看成是由一个或几个基本平面图形转动而产生的奇妙画面。
这些图形有什么特征?
这些图形都可以看成是一个图形绕着某一点旋转而形成的新图形。
如图，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，像这样的运动就叫做旋转，这悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心
旋转的概念：
注意：图形旋转时，每个点都按相同的方式旋转相同的角度 ，但每个点所经过的路线不同。
练习：1、下列现象中属于旋转的有( )个
①地下水位逐年下降;②传送带的移动;③方向盘的转动;④水龙头开关的转动;⑤钟摆的运动;⑥荡秋千运动。A.2 B.3 C.4 D.5
2、香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5个相同的花瓣组成，它是由其中一瓣经过几次旋转得到的?
二、探究归纳
如图(1)，点A绕着点O转过80°到了点A′的位置，那么点A′与点A称为对应点，点O就是旋转中心，而∠AOA′的度数等于旋转角度80°。
如图(2)，线段AB绕着点O转过60°到了线段A′B′的位置，那么线段A′B′和线段AB称为对应线段，而点B′和点 是对应点。
如图(3)，△AOB绕着点O旋转45°到了△A′OB′的位置，那么图中旋转中心是点 ，旋转的角度是 ，对应点是 ，对应线段是 ，∠A与∠A′称为对应角，图中对应角还有 。
归纳 旋转中心在旋转过程中 ，图形的旋转是由 、和 决定的。
三、操作探索活动
1、将△ABC绕点O按顺时针方向旋转到△A ′ B′ C ′的位置,度量∠AOA′ 、∠BOB′ 、∠COC′的度数, 线段AO与AO′,BO与BO′,CO与CO′的长度。
你发现了什么?△ABC与△A ′ B′ C ′是全等三角形吗?
思考：图形的旋转和图形的中心对称有什么关系?
四、实践应用
例1已知A点与点O，画出点A绕着点O旋转30°后的点A′
1、已知线段AB与点O，画出线段AB绕着点O按逆时针方向旋转80°后的图形。
2、已知△ ABC和点O，画出△ ABC绕着点O按逆时针方向旋转80°后的图形。
3、若改成多边形呢?你能总结出旋转作图的方法吗?
完成课本P58“例1、例2”
例2思考课本P60“交流与发现”，并完成“例4”
练习：如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
(1)旋转中心是哪个点?(2)旋转了多少度?
(3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置?
五、巩固提高
1、课本P74练习第1，2，3题
2、如图，△ABD按顺时针方向旋转成△ACE，写出图中的对应顶点、对应角、对应线段以及旋转中心和旋转角度，并试着写出图中相等的线段，相等的角(指两个三角形中的边和角).
3、长方形ABCD中，连结BD，将△ABD旋转到△CDB处，写出旋转中心和旋转角度。
六、课堂小结
由师生共同归纳出图形旋转的有关要点：
(1)图形的旋转是将一个图形绕着一点顺(逆)时针转过某个角度;
(2)旋转中心在旋转过程中保持不动;
(3)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定的。
七、作业布置
课本P78习题15.2第1，4题。
篇5：北师大版九年级下册数学教案
教学过程：
一、复习旧知：
1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释)
2、在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的?
二、讲授新课：
1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。
分析归纳圆定义：
在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。
注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O
2、进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出：
① 圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径)
② 到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心，
定长为半径的圆上。由此得出圆的定义：
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。
3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
4、初步掌握圆与一个集合之间的关系：
⑴已知图形，找点的集合
例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，
则是以点O为圆心，2cm长为半径的点的集合;
以O为圆心，半径为2cm的圆的内部是到
圆心O的距离小于2cm的所有点的集合;
以O为圆心，半径为2cm的圆的外部是到
圆心O的距离大于2cm的点的集合。
⑵已知点的集合，找图形
例如，和已知点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm长为半径的圆。
5、点与圆的位置关系：
点在圆上，点在圆内，点在圆外。
点与圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系如下：
设圆心为O，半径为r，点P到点O的距离为d，则有
点P在圆内 OP>r
点P在圆上 OP=r
点P在圆外 OP
例1：求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。
〈分析〉证明多点共圆，由圆的定义知道，即要证明点A、B、C、D到点O等距离。
三、巩固练习：
1、已知△ABC中，∠C = 90 ，AC = 2cm，BC = 4cm，CM为中线，以C为圆心， cm长为半径画圆，则A、B、C、M四点中在圆外的有
在圆上的有 ，在圆的内部有 。
2、课本P
3、我们学过的所有顶点共圆的图形还有那些?
33.5 O
四、课后小结：
1、圆的两种定义
2、圆的内部，圆的外部的定义
3、点与圆的位置关系
4、点与圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系
5、多点共圆的证法
五、布置作业：
课本P 1、(1，2)、2、3、4
教学设计说明
本节课主要是通过圆的概念的探讨，深入地了解圆的形成，从而使学生脱离在小学时的对圆的肤浅认识，掌握圆在初中的知识里更完整的定义。
在教学重点上关键让学生了解圆的两点，简单的说，到圆心距离等于半径的点在圆上，圆上的点到圆心的距离等于半径，在圆的概念的引入时，首先利用集合的语言去解释圆，例如像前面学过的角平分线及中垂线的集合定义，然后利用图形的画法理解圆的定义，这样设计的目的是为了培养学生数形结合的思想。
在教学的讲授中，先让学生自己动手去演示圆的形成，要了解画一个圆的两个必需条件：定点和定长;让学生自己去体会圆的概念，同时，还会体会到圆的内部和外部的意义，并能等同的用集合的定义解释内部和外部，从而又能引出一个点和圆的位置关系，那么，学生会在一系列的过程中更清楚的认识圆的定义，更完整的了解圆。例题的设计是为了使学生掌握多点共圆必须要以定义为依据，并能探索其他的所有顶点共圆的图形。
总之，本节课主要是以教师的引导和讲授为主,通过学生的自我演示去了解圆的形成,培养学生总结归纳的能力,提高探索解决问题的能力,设计上总的框架先探索研究后理解应用.
篇6：2020北师大版九年级数学教案
21.2.1 配方法(3课时)
第1课时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重点
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想.
难点
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题.
问题1：填空
(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.
解：根据完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.
问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=-2
例1 解方程：(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2
分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.
(2)由已知，得：(x+3)2=2
直接开平方，得：x+3=±2
即x+3=2，x+3=-2
所以，方程的两根x1=-3+2，x2=-3-2
解：略.
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率.
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材第6页 练习.
四、课堂小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±p，达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.
五、作业布置
教材第16页 复习巩固1.第2课时 配方法的基本形式
篇7：新北师大版八年级下册数学教案
【自主复习知识准备】
1、一次函数 ，当 时， ;当 时， ;当 时， 。
2、一次函数 ，x轴交点坐标为________;与y轴交点坐标_________;图像经过_______象限，y随x的增大而______，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是 。
【自主探究知识应用】
思考：
下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?
， ，
1、解这3个方程相当于在一次函数 的函数值分别为3，0，-1时，求
2、画出 的图像，从图像上可以看出 上纵坐标分别取3，0，-1的点，
归纳：1、解一元一次方程 相当于在某个一次函数
2、一元一次方程 的解就是直线 与 轴的交点的
巩固与拓展：
例1、若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少?
例2、某天，小明来到体育馆看球赛，进场时发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票同时他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆，途中线段AB,OA分别表示父子俩送票、取票过程中离体育馆的路程S(米)与所用时间 (分钟)之间的函数关系，结合图像解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度保持不变)：
(1)求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式。
(2)小明能否在比赛开始前返回体育馆?
【当堂检测知识升华】
1、直线 与 轴的交点是( )
A、(0，3) B、(0，1) C、(3，0) D、(1，0)
2、直线 与 轴的交点是(1，0 )，则 的值是( )
A、3 B、2 C、-2 D、-3
3、若直线 的图像经过点(1，3)，则方程 的解是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
4、有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征.
可心：图象与x轴交于点(6，0)。
黄瑶：图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9。
你知道这个一次函数的关系式吗?
5、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少?
【课后作业知识反馈】
课本P108第9题。
我的收获
新北师大版八年级下册数学教案
篇8：新北师大版九年级数学上册教案
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重点
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想.
难点
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题.
问题1：填空
(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.
解：根据完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.
问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=-2
例1 解方程：(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2
分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.
(2)由已知，得：(x+3)2=2
直接开平方，得：x+3=±2
即x+3=2，x+3=-2
所以，方程的两根x1=-3+2，x2=-3-2
解：略.
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率.
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材第6页 练习.
四、课堂小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±p，达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.
五、作业布置
教材第16页 复习巩固1.第2课时 配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.
重点
讲清直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程：
(1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9 (4)4x2+16x=-7
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得
x=±p或mx+n=±p(p≥0).
如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少?
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2=-8
可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-12=0
分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.
解：略.
三、巩固练习
教材第9页 练习1，2.(1)(2).
四、课堂小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.
五、作业布置
教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2).第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.
重点
讲清配方法的解题步骤.
难点
对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方;对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解.
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)x2-4x+7=0 (2)2x2-8x+1=0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.
解：略. (2)与(1)有何关联?
二、探索新知
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式;
(2)化二次项系数为1;
(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q;如果q<0，方程无实根.
例1 解下列方程：
(1)2x2+1=3x (2)3x2-6x+4=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式.
解：略.
三、巩固练习
教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6).
四、课堂小结
本节课应掌握：
1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
2.配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到.
五、作业布置
教材第17页 复习巩固3.(3)(4).
补充：(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求x+y+z的值.
(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数.21.2.2 公式法
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.
重点
求根公式的推导和公式法的应用.
难点
一元二次方程求根公式的推导.
一、复习引入
1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
(1)x2=4 (2)(x-2)2=7
提问1 这种解法的(理论)依据是什么?
提问2 这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)
2.面对这种局限性，怎么办?(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)
(学生活动)用配方法解方程 2x2+3=7x
(老师点评)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).
(1)先将已知方程化为一般形式;
(2)化二次项系数为1;
(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q;如果q<0，方程无实根.
二、探索新知
用配方法解方程：
(1)ax2-7x+3=0 (2)ax2+bx+3=0
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.
问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+bax=-ca
配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2
即(x+b2a)2=b2-4ac4a2
∵4a2>0，当b2-4ac≥0时，b2-4ac4a2≥0
∴(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2
直接开平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a
即x=-b±b2-4ac2a
∴x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0 (2)x2+1.5=-3x
(3)x2-2x+12=0 (4)4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.
补：(5)(x-2)(3x-5)=0
三、巩固练习
教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6).
四、课堂小结
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程;
(2)公式法的概念;
(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0;2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号;3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解;4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.
(4)初步了解一元二次方程根的情况.
五、作业布置
教材第17页习题4，5.21.2.3 因式分解法
掌握用因式分解法解一元二次方程.
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.
重点
用因式分解法解一元二次方程.
难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)2x2+x=0(用配方法) (2)3x2+6x=0(用公式法)
老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解.
二、探索新知
(学生活动)请同学们口答下面各题.
(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项?
(2)等式左边的各项有没有共同因式?
(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解.
因此，上面两个方程都可以写成：
(1)x(2x+1)=0 (2)3x(x+2)=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12.
(2)3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.(以上解法是如何实现降次的?)
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
例1 解方程：
(1)10x-4.9x2=0 (2)x(x-2)+x-2=0 (3)5x2-2x-14=x2-2x+34 (4)(x-1)2=(3-2x)2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么?
解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积.)
练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )
A.(x-3)(x-5)=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B.(2-5x)+(5x-2)2=0，∴(5x-2)(5x-3)=0，∴x1=25，x2=35
C.(x+2)2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D.x2=x，两边同除以x，得x=1
三、巩固练习
教材第14页 练习1，2.
四、课堂小结
本节课要掌握：
(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.
(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
五、作业布置
教材第17页习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.
2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.
4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.
重点
根与系数的关系及其推导
难点
正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.
一、复习引入
1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值.
2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系?
3.由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是-b+b2-4ac与-b-b2-4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2
x2-2x=0
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
观察上面的表格，你能得到什么结论?
(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系?
(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?
解下列方程，并填写表格：
方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2
2x2-7x-4=0
3x2+2x-5=0
5x2-17x+6=0
小结：根与系数关系：
(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=-p，x1?x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)
(2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论.
即：对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
∵a≠0，∴x2+bax+ca=0
∴x1+x2=-ba，x1?x2=ca
(可以利用求根公式给出证明)
例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
(1)x2-3x-1=0 (2)2x2+3x-5=0
(3)13x2-2x=0 (4)2x2+6x=3
(5)x2-1=0 (6)x2-2x+1=0
例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确?
(1)x2-22x+1=0 (x1=2+1，x2=2-1)
(2)2x2-3x-8=0 (x1=7+734，x2=5-734)
例3 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?)
例4 已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.
变式一：已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k;
变式二：已知方程2x2-5x+k=0的两根互为倒数，求k.
三、课堂小结
1.根与系数的关系.
2.根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程;(2)判别式大于等于零.
四、作业布置
1.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积.
(1)x2-5x-3=0 (2)9x+2=x2 (3)6x2-3x+2=0
(4)3x2+x+1=0
2.已知方程x2-3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值.
3.已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2，求另一根及b的值.
篇9：新北师大版九年级数学上册教案
一、素质教育目标
(一)知识教学点
使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.
(二)能力训练点
逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.
三、教学步骤
(一)明确目标
1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米?
2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少?
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少?
4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度?
前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.
通过四个例子引出课题.
(二)整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其
顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴
形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.
练习题为 作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.
(四)总结与扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.
四、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.
五、板书设计
第十四章 解直角三角形
一、锐角三角函数 证明：------------------
结论：--------------------
练习：---------------------
正弦和余弦(二)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比;熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
(二)能力训练点
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
(三)德育渗透点
渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、教学重点、难点
1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.
三、教学步骤
(一)明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值——正弦和余弦.
(二)整体感知
只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图6-3：
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书：在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.
若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则
引导学生思考：当∠A为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内?得结论0
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
例1 求出图6-4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.
学生练习1中1、2、3.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
例2 求下列各式的值：
为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
(1)sin45°+cos45; (2)sin30°?cos60°;
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢?”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.”为查正余弦表作准备.
(四)总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
0 还发现Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA=cosB，cosA=sinB.正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.” 四、布置作业 教材习题14.1中A组3. 预习下一课内容. 五、板书设计 新北师大版九年级数学上册教案 ★ 九年级数学教案新北师大九年级数学教案（集锦9篇）
