苏教版高中数学必修2教案

时间:2025-01-31 03:35:27 作者:躞璇永 教案 收藏本文 下载本文

【导语】“躞璇永”通过精心收集,向本站投稿了17篇苏教版高中数学必修2教案,下面是小编整理后的苏教版高中数学必修2教案,欢迎您阅读分享借鉴,希望对您有所帮助。

篇1:苏教版高中数学必修2教案

教学目的:

(1)明确函数的三种表示方法;

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;

(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;

(4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.

教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.

教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.

教学过程:

引入课题

复习:函数的概念;

常用的函数表示法及各自的优点:

(1)解析法;

(2)图象法;

(3)列表法.

新课教学

(一)典型例题

例1.某种笔记本的单价是5元,买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x) .

分析:注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.

解:(略)

注意:

函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;

解析法:必须注明函数的定义域;

图象法:是否连线;

列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

巩固练习:

课本P27练习第1题

例2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表:

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

分析:本例应引导学生分析题目要求,做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具?

解:(略)

注意:

本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样更便于研究成绩的变化特点;

本例能否用解析法?为什么?

巩固练习:课本P27练习第2题

例3.画出函数y = | x | .

解:(略)

巩固练习:课本P27练习第3题

拓展练习:

任意画一个函数y=f(x)的图象,然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象,并尝试简要说明三者(图象)之间的关系.

课本P27练习第3题

例4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定:

(1) 乘坐汽车5公里以内,票价2元;

(2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算).

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

分析:本例是一个实际问题,有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.

解:设票价为y元,里程为x公里,同根据题意,

如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19公里,所以自变量x的取值范围是{x∈N| x≤19}.

由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

根据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图所示:

注意:

本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;

本题可否用列表法表示函数,如果可以,应怎样列表?

实践与拓展:

请你设计一张乘车价目表,让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价.(可以实地考查一下某公交车线路)

说明:象上面两例中的函数,称为分段函数.

篇2:高中数学必修2教案

教学目标

1、知识与能力目标:理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念,学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标:按照创设情景,提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方法,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索基本不等式性质,体会学习数学规律的方法,体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标:通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生用数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重难点

1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教学过程

一、创设情景,提出问题;

设计意图:数学教育必须基于学生的“数学现实”,现实情境问题是数学教学的平台,数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实,并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系,抽象出不等式

在此基础上,引导学生认识基本不等式。

三、理解升华:

1、文字语言叙述:

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式

已知a,b是正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,A与G有无确定的大小关系?

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述:

4、探究基本不等式证明方法:

[问]如何证明基本不等式?

(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明,实现从感性认识到理性认识的升华,前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的,下面用代数的思想,利用不等式的性质直接推导这个不等式。)

方法一:作差比较或由

展开证明。

方法二:分析法(完成课本填空)

设计依据:课本是学生了解世界的窗口和工具,所以,课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考,养成讲讲议议、

动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯,真正学会读“数学书”。

点评:证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

5、探究基本不等式的几何意义:

借助初中阶段学生熟知的几何图形,引导学生

几何解释实质可认为是:在同一半圆中,半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是,直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

四、探究归纳

下列命题中正确的是

结论:

若两正数的乘积为定值,则当且仅当两数相等时,它们的和有最小值;

若两正数的和为定值,则当且仅当两数相等时,它们的乘积有最大值。

简记为:“一正、二定、三相等”。

五、领悟练习:

公式应用之二:(最优化问题)

设计意图:新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣,拓宽学生的视野,更重要的是调动学生探究钻研的兴趣,引导学生加强对生活的关注,让学生体会:数学就在我们身边的生活中

(1)在学农期间,生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地,为了保护茶叶的健康生长,学校决定用篱笆围起来,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆,要围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少?

六、反思总结,整合新知:

通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要

请教?

设计意图:通过反思、归纳,培养概括能力;帮助学生总结经验教训,巩固知识技能,提高认知水平.

老师根据情况完善如下:

两种思想:数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意:基本不等式求函数的最大(小)值是注意:“一正二定三相等”

篇3:苏教版高中数学必修一教案

教学目标:

掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明;引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用,培养学生的创新意识.

教学重点:

二倍角公式的推导及简单应用.

教学难点:

理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.

教学过程:

Ⅰ.课题导入

前一段时间,我们共同探讨了和角公式、差角公式,今天,我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道,和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.

先回忆和角公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

当α=β时,sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα

即:sin2α=2sinαcosα(S2α)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

当α=β时cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α

即:cos2α=cos2α-sin2α(C2α)

tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ

当α=β时,tan2α=2tanα1-tan2α

Ⅱ.讲授新课

同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1,公式C2α还可以变形为:cos2α=2cos2α-1或:cos2α=1-2sin2α

同学们是否也考虑到了呢?

另外运用这些公式要注意如下几点:

(1)公式S2α、C2α中,角α可以是任意角;但公式T2α只有当α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (k∈Z)时才成立,否则不成立(因为当α=π2 +kπ,k∈Z时,tanα的值不存在;当α=π4 +kπ2 ,k∈Z时tan2α的值不存在).

当α=π2 +kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式:

即:tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0

(2)在一般情况下,sin2α≠2sinα

例如:sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情况下,才有可能成立[当且仅当α=kπ(k∈Z)时,sin2α=2sinα=0成立].

同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα

(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况,还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍,将α作为 α2 的2倍,将 α2 作为 α4 的2倍,将3α作为 3α2 的2倍等等.

篇4:新课标高中数学必修2教案

【学习导航】

(一)两角和与差公式

(二)倍角公式

2cos2α=1+cos2α 2sin2α=1-cos2α

注意:倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律,可实现函数式的降幂的变化。

注: (1)两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型:求值题,化简题,证明题。

(2)对公式会“正用”,“逆用”,“变形使用”;

(3)掌握“角的演变”规律,

(4)将公式和其它知识衔接起来使用。

重点难点

重点:几组三角恒等式的应用

难点:灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式

【精典范例】

例1 已知

求证:

例2 已知 求 的取值范围

分析 难以直接用 的式子来表达,因此设 ,并找出 应满足的等式,从而求出 的取值范围.

例3 求函数 的值域.

例4 已知

且 、、均为钝角,求角 的值.

分析 仅由 ,不能确定角 的值,还必须找出角 的范围,才能判断 的值. 由单位圆中的余弦线可以看出,若 使 的角为 或 若 则 或

【选修延伸】

例5 已知

求 的值.

例6 已知 ,

求 的值.

例7 已知

求 的值.

例8 求值:(1) (2)

【追踪训练】

1. 等于 ( )

A. B. C. D.

2.已知 ,且

,则 的值等于 ( )

A. B. C. D.

3.求值: = .

4.求证:(1)

篇5:新课标高中数学必修2教案

教学目标

(1)掌握一元二次不等式的解法;

(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组;

(3)了解简单的分式不等式的解法;

(4)能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式,理解它们三者之间的内在联系;

(5)能够进行较简单的分类讨论,借助于数轴的直观,求解简单的含字母的一元二次不等式;

(6)通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想;

(7)通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的,树立辨证的世界观.

教学重点:一元二次不等式的解法;

教学难点:弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.

教与学过程设计

第一课时

Ⅰ.设置情境

问题:

①解方程

②作函数 的图像

③解不等式

【置疑】在解决上述三问题的基础上分析,一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式 的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程,一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上!)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?

Ⅱ.探索与研究

我们现在就结合不等式 的求解来试一试。(师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出 的图像,然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。)

【答】方程 的解集为

不等式 的解集为

【置疑】哪位同学还能写出 的解法?(请一程度差的同学回答)

【答】不等式 的解集为

我们通过二次函数 的图像,不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第(5)小题 的解集,还求出了 的解集,可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式 与 来进行讨论。为简便起见,暂只考虑 的情形。请同学们思考下列问题:

如果相应的一元二次方程 分别有两实根、惟一实根,无实根的话,其对应的二次函数 的图像与x轴的位置关系如何?(提问程度较好的学生)

【答】二次函数 的图像开口向上且分别与x轴交于两点,一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图,并写出相应一元二次不等式的解集。(通过多媒体或其他载体给出以下表格)

【答】 的解集依次是

的解集依次是

它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数 的图像。

课本第19页上的例1.例2.例3.它们均是求解二次项系数 的一元二次不等式,却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练,却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。

(教师巡视,重点关注程度稍差的同学。)

Ⅲ.演练反馈

1.解下列不等式:

(1) (2)

(3) (4)

2.若代数式 的值恒取非负实数,则实数x的取值范围是 。

3.解不等式

(1) (2)

参考答案:

1.(1) ;(2) ;(3) ;(4)R

2.

3.(1)

(2)当 或 时, ,当 时,

当 或 时, 。

Ⅳ.总结提炼

这节课我们学习了二次项系数 的一元二次不等式的解法,其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点,再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。

(五)、课时作业

(P20.练习等3、4两题)

(六)、板书设计

第二课时

Ⅰ.设置情境

(通过讲评上一节课课后作业中出现的问题,复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。)

上节课我们只讨论了二次项系数 的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问,那么二次项系数 的一元二次不等式如何来求解?咱们班上有谁能解答这个疑问呢?

Ⅱ.探索研究

(学生议论纷纷.有的说仍然利用二次函数的图像,有的说将二次项的系数变为正数后再求解,…….教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解.)

生甲:只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线,再根据可得的图像便可求得二次项系数 的一元二次不等式的解集.

生乙:我觉得先在不等式两边同乘以-1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了.

师:首先,这两种见解都是合乎逻辑和可行的.不过按前一见解来操作的话,同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论.这不但加重了记忆负担,而且两表中的结论容易搞混导致错误.而按后一种见解来操作时则不存在这个问题,请同学们阅读第19页例4.

(待学生阅读完毕,教师再简要讲解一遍.)

[知识运用与解题研究]

由此例可知,对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为 的一元二次不等式来求解的,因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求

解任意一个一元二次不等式了,请同学们求解以下两不等式.(调两位程度中等的学生演板)

(1) (2)

(分别为课本P21习题1.5中1大题(2)、(4)两小题.教师讲评两位同学的解答,注意纠正表述方面存在的问题.)

训练二 可化为一元一次不等式组来求解的不等式.

目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用,但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦.故在求解形如 (或 )的一元二次不等式时则根据(有理数)乘(除)运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解.现在清同学们阅读课本P20上关于不等式 求解的内容并思考:原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集?(待学生阅读完毕,请一程度较好,表达能力较强的学生回答该问题.)

【答】因为满足不等式组 或 的x都能使原不等式 成立,且反过来也是对的,故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集.

这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系,故它们必相等,现在请同学们求解以下各不等式.(调三位程度各异的学生演板.教师巡视,重点关注程度较差的学生).

(1) [P20练习中第1大题]

(2) [P20练习中第1大题]

(3) [P20练习中第2大题]

(老师扼要讲评三位同学的解答.尤其要注意纠正表述方面存在的问题.然后讲解P21例5).

例5 解不等式

因为(有理数)积与商运算的“符号法则”是一致的,故求解此类不等式时,也可像求解 (或 )之类的不等式一样,将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。

解:(略)

现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。

(等学生完成后教师给出答案,如有学生对不上答案,由其本人追查原因,自行纠正。)

[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。

(通过多媒体或其他载体给出下列各题)

1.不等式 与 的解集相同此说法对吗?为什么[补充]

2.解下列不等式:

(1) [课本P22第8大题(2)小题]

(2) [补充]

(3) [课本P43第4大题(1)小题]

(4) [课本P43第5大题(1)小题]

(5) [补充]

(每题均先由学生说出解题思路,教师扼要板书求解过程)

参考答案:

1.不对。同 时前者无意义而后者却能成立,所以它们的解集是不同的。

2.(1)

(2)原不等式可化为: ,即

解集为 。

(3)原不等式可化为

解集为

(4)原不等式可化为 或

解集为

(5)原不等式可化为: 或 解集为

Ⅲ.总结提炼

这节课我们重点讲解了利用(有理数)乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是,这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的,同学们应掌握好这一方法。

(五)布置作业

(P22.2(2)、(4);4;5;6。)

(六)板书设计

新课标高中数学必修2教案

篇6:高中数学必修2课程教案

一、知识点归纳

(一)空间几何体的结构特征

(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱,锥,台,球的结构特征

1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.

2.1棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台.

3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.

4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.

(二)空间几何体的三视图与直观图

1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等

3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法:在坐标系 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。

(三)空间几何体的表面积与体积

1、空间几何体的表面积

①棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和

②圆柱的表面积

③圆锥的表面积 ④圆台的表面积

⑤球的表面积 ⑥扇形的面积公式 (其中 表示弧长, 表示半径)

2、空间几何体的体积

①柱体的体积

②锥体的体积

③台体的体积

④球体的体积

二、练习与巩固

(1)空间几何体的结构特征及其三视图

1.下列对棱柱说法正确的是( )

A.只有两个面互相平行 B.所有的棱都相等

C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,且各侧棱也平行

2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。形成的曲面所围成的几何体是( )

A.球体 B.圆柱 C.圆台 D.两个共底面的圆锥组成的组合体

3.下列命题正确的是( )

A.平行与圆锥的一条母线的截面是等腰三角形

B.平行与圆台的一条母线的截面是等腰梯形

C. 过圆锥母线及顶点的截面是等腰三角形

D. 过圆台的一个底面中心的截面是等腰梯形

4.棱台不具备的特点是( )

A.两底面相似 B. 侧面都是梯形 C. 侧棱都相等 D. 侧棱延长后交于一点

5.以任意方式截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是( )

A.球体 B.圆柱 C.圆锥 D.圆柱、圆锥及球体的组合体

6.将装有水的长方体槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )

A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱台的组合体 D.不能确定

7.下列命题正确的是 ( )

A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形

C.两条相交直线的平行投影可能平行

D.一条线段中点的平行投影仍是投影线段的中点

8.将等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周, 形成的几何体一定是( )

A.圆锥 B.圆柱 C.圆台 D.上均不正确

9.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是( )

A.圆锥 B.圆柱 C. 球体 D. 以上都可能

10.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是( )

11.三视图均相同的几何体有( )

A.球 B.正方体 C.正四面体 D.以上都对

12.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

13.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )

A. 棱台 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 都不对

(2)空间几何体的表面积和体积

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式.

2.空间几何体的表面积和体积公式.

名称

几何体

表面积

体积

柱体

(棱柱和圆柱)

S表面积=S侧+2S底

V=________

锥体

(棱锥和圆锥)

S表面积=S侧+S底

V=________

台体

(棱台和圆台)

S表面积=S侧+S上+S下

V=_________

____________

S=________

V=πR3

一、选择题

1.已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为( )

A.1:2:3 B.1:4:9 C.2:3:4 D.1:8:27

2.有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A. B. C. D.

3.棱长都是 的三棱锥的表面积为( )

A. B. C. D. 4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 ,且它的 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )

A. B. C. D.都不对

5.三角形ABC中,AB= ,BC=4, ,现将三角形ABC绕BC旋转一周,所得简单组合体的体积为( )

A. B. C.12 D.

6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32 B. C.48 D.

7.设正方体的棱长为,则它的外接球的表面积为( )

A. B.2π C.4π D.

8.已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的表面积为 ( )

. . . .

9.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 ,且它的 个顶点都在

同一球面上,则这个球的表面积是( )

A. B. C. D. 都不对

10.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )

A. B. C. D.

二、填空题

1. 中, ,将三角形绕直角边 旋转一周所成

的几何体的体积为____________。

2. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 ,则它的体积为___________.

3.正方体 中, 是上底面 中心,若正方体的棱长为 ,

则三棱锥 的体积为 .

三、解答题

1.将圆心角为 ,面积为 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积.

2.已知圆台的上下底面半径分别是 ,且侧面面积等于两底面面积之和,

求该圆台的母线长.

3.(如图)在底半径为 ,母线长为 的圆锥中内接一个高

为 的圆柱,求圆柱的表面积

4.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧

视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个

几何体的表面积. Key:11

5.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.

求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S

篇7:高中数学必修2课程教案

1教学目标

1.知道柱体、锥体、台体侧面展开图,弄懂柱体、锥体、台体的表面积的求法.

2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积,并知道柱体、锥体和台体表面积之间的关系.

2学情分析

通过学习空间几何体的结构特征,空间几何体的三视图和直观图,了解了空间几何体和平面图形之间的关系,从中反映出一个思想方法,即平面图形和空间几何体的互化,尤其是空间几何问题向平面问题的转化。该部分内容中有些是学生已经熟悉的,在解决这些问题的过程中,首先要对学生已有的知识进行再认识,提炼出解决问题的一般思想——化归的思想,总结出一般的求解方法,在此基础上通过类比获得解决新问题的思路,通过化归解决问题,深化对化归、类比等思想方法的应用。

3重点难点

重点:知道柱体、锥体、台体侧面展开图,弄懂柱体、锥体、台体的表面积公式。

难点:会求柱体、锥体和台体的表面积,并知道柱体、锥体和台体表面积之间的关系.

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】第1课时 柱体、锥体、台体的表面积

(一)、基础自测:

1.棱长为a的正方体表面积为__________.

2.长、宽、高分别为a、b、c的长方体,其表面积为___________________.

3.长方体、正方体的侧面展开图为__________.

4.圆柱的侧面展开图为__________.

5.圆锥的侧面展开图为__________.

(二).尝试学习

1.柱体的表面积

(1)侧面展开图:棱柱的侧面展开图是____________,一边是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的__________,如图①所示;圆柱的侧面展开图是_______,其中一边是圆柱的母线,另一边等于圆柱的底面周长,如图②所示.

(2)面积:柱体的表面积S表=S侧+2S底.特别地,圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S侧=__________,表面积S表=__________.

2.锥体的表面积

(1)侧面展开图:棱锥的侧面展开图是由若干个__________拼成的,则侧面积为各个三角形面积的_____,如图①所示;圆锥的侧面展开图是_______,扇形的半径是圆锥的______,扇形的弧长等于圆锥的__________,如图②所示.

(2)面积:锥体的表面积S表=S侧+S底.特别地,圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧=__________,表面积S表=__________.

3.台体的表面积

(1)侧面展开图:棱台的侧面展开图是由若干个__________拼接而成的,则侧面积为各个梯形面积的______,如图①所示;圆台的侧面展开图是扇环,其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,如图②所示.

(2)面积:台体的表面积S表=S侧+S上底+S下底.特别地,圆台的上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l,则侧面积S侧=____________,表面积S表=________________________.

(三).互动课堂

例1:在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱长为b,则其侧面积为( )

A. B.ab C.(+)ab D.ab

例2:(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积是( )

A.2π B. C.6π D.9π

(2)已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥S-ABCD,如图,求它的侧面积、表面积.

例3:一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为( )

A.B.2 C. D.

(四).巩固练习:

1.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为________.

2.已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底面正方形射影为底面正方形的中心(正四棱锥),底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,如图所示,求正四棱锥的侧面积________和表面积________(单位:cm2).

3.如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4,母线长为10,则圆台的侧面积为( )

A.81π B.100π C.14π D.169π

(五)、课堂小结:

求柱体表面积的方法

(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积;表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和.

(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法:一是定义法;二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求,公式法即直接用公式求解.

(3)求圆柱的侧面积只需利用公式即可求解.

(4)求棱锥侧面积的一般方法:定义法.

(5)求圆锥侧面积的一般方法:公式法:S侧=πrl.

(6)求棱台侧面积的一般方法:定义法.

(7)求圆台侧面积的一般方法:公式法S侧=2(r+r′)l.

五、当堂检测

1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32 B.16+16

C.48 D.16+32

2.(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.180 B.200 C.220 D.240

3.(2013广东)若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于( )

A.6 B.6π C.3π D.6π

六、作业:(1)课时闯关(今晚交)

七、课后反思:本节课你会哪些?还存在哪些问题?

1.3 空间几何体的表面积与体积

课时设计 课堂实录

1.3 空间几何体的表面积与体积

1第一学时 教学活动 活动1【导入】第1课时 柱体、锥体、台体的表面积

(一)、基础自测:

1.棱长为a的正方体表面积为__________.

2.长、宽、高分别为a、b、c的长方体,其表面积为___________________.

3.长方体、正方体的侧面展开图为__________.

4.圆柱的侧面展开图为__________.

5.圆锥的侧面展开图为__________.

(二).尝试学习

1.柱体的表面积

(1)侧面展开图:棱柱的侧面展开图是____________,一边是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的__________,如图①所示;圆柱的侧面展开图是_______,其中一边是圆柱的母线,另一边等于圆柱的底面周长,如图②所示.

(2)面积:柱体的表面积S表=S侧+2S底.特别地,圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S侧=__________,表面积S表=__________.

2.锥体的表面积

(1)侧面展开图:棱锥的侧面展开图是由若干个__________拼成的,则侧面积为各个三角形面积的_____,如图①所示;圆锥的侧面展开图是_______,扇形的半径是圆锥的______,扇形的弧长等于圆锥的__________,如图②所示.

(2)面积:锥体的表面积S表=S侧+S底.特别地,圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧=__________,表面积S表=__________.

3.台体的表面积

(1)侧面展开图:棱台的侧面展开图是由若干个__________拼接而成的,则侧面积为各个梯形面积的______,如图①所示;圆台的侧面展开图是扇环,其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,如图②所示.

(2)面积:台体的表面积S表=S侧+S上底+S下底.特别地,圆台的上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l,则侧面积S侧=____________,表面积S表=________________________.

(三).互动课堂

例1:在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱长为b,则其侧面积为( )

A. B.ab C.(+)ab D.ab

例2:(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积是( )

A.2π B. C.6π D.9π

(2)已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥S-ABCD,如图,求它的侧面积、表面积.

例3:一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为( )

A.B.2 C. D.

(四).巩固练习:

1.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为________.

2.已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底面正方形射影为底面正方形的中心(正四棱锥),底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,如图所示,求正四棱锥的侧面积________和表面积________(单位:cm2).

3.如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4,母线长为10,则圆台的侧面积为( )

A.81π B.100π C.14π D.169π

(五)、课堂小结:

求柱体表面积的方法

(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积;表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和.

(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法:一是定义法;二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求,公式法即直接用公式求解.

(3)求圆柱的侧面积只需利用公式即可求解.

(4)求棱锥侧面积的一般方法:定义法.

(5)求圆锥侧面积的一般方法:公式法:S侧=πrl.

(6)求棱台侧面积的一般方法:定义法.

(7)求圆台侧面积的一般方法:公式法S侧=2(r+r′)l.

五、当堂检测

1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32 B.16+16

C.48 D.16+32

2.(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.180 B.200 C.220 D.240

3.(2013广东)若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于( )

A.6 B.6π C.3π D.6π

六、作业:(1)课时闯关(今晚交)

七、课后反思:本节课你会哪些?还存在哪些问题?

篇8:高中数学必修2课程教案

课题名称

《2.1空间点、直线与平面之间的位置关系》

科 目

高中数学

教学时间

1课时

学习者分析

通过第一章《空间几何体》的学习,学生对于立体几何已经有了初步的认识,能够识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球,并理解它们的几何特征。但是这种理解还只是建立在观察、感知的基础上的,对于原理学生是不明确的,所以学生此时有很强的求知欲,急于想搞清楚为什么;同时学生经过高中一年的学习,已经具备了一定的逻辑推理能力,只是缺乏训练,不够严密,不够清晰;有一定的自主探究和合作学习的能力,但有待提高,并愿意动手并参与分组讨论。

教学目标

一、知识与技能

1. 理解空间点、直线、平面的概念,知道空间点、直线、平面之间存在什么样的关系;

2. 记忆三公理三推论,能够用简单的语言概括三公理三推论,会用图形表示三公理三推论,并将其转化成数学符号语言;

3. 明确三公理三推论的功能,掌握使用三公理三推论解决立体几何问题的方法。

二、过程与方法

1. 通过自己动手制作模型,直观地感知空间点、直线与平面之间的位置关系,以及三公理三推论;

2. 通过思考、讨论,发现三公理三推论的条件和结论;

3. 通过例题的训练,进一步理解三公理三推论,明确三公理三推论的功能。

三、情感态度与价值观

1. 通过操作、观察、讨论培养对立体几何的兴趣,建立合作的意识;

2. 感受立体几何逻辑体系的严密性,培养学生细心的学习品质。

教学重点、难点

1. 理解三公理三推论的概念及其内涵;

2. 使用三公理三推论解决立体几何问题。

教学资源

(1)每位同学准备两张硬纸板,其中一张中间用小刀划条缝,铅笔三根;

(2)教师自制的多媒体课件。

《2.1空间点、直线与平面之间的位置关系》教学过程的描述

教学活动1

一、导入新课

1. 回忆构成平面图形的基本元素:点、直线。①两者都是最原始的概念,点没有大小、面积、厚度,直线是向两侧无限延伸的;②点用大写英文字母表示,直线用小写英文字母表示;③ 如果将点看作元素,则直线是一系列点构成的集合,所以点在直线上记作,点不在直线上记作;

2. 提出问题:构成空间几何体有哪些基本元素?(大屏幕出示棱柱、棱锥、棱台)学生很快得到答案:点、直线、平面。

3. 引入课题:什么是平面?点、直线、平面之间有什么样的位置关系?平面有什么性质?这就是我们这堂课要研究的问题。

教学活动2

二、观察操作,合作探究

1. 理解平面的概念

平面也是一个最原始的概念,是向四周无限延伸的,没有边界。一般用希腊字母、、,…表示平面,或者记为平面ABC,平面ABCD等等。

2. 明确空间点、直线、平面之间存在的位置关系

①点与直线;②点与平面;③直线与平面。

3. 探究平面的性质

⑴ 公理一

① 学生操作,研究如何将铅笔放置到硬纸板内

问题一:铅笔与硬纸板只有一个公共点可以么?

问题二:要将铅笔放置到硬纸板内至少需要几个公共点?

学生通过操作,体会到要将铅笔放置到硬纸板内,只需将铅笔上两点放置到硬纸板内。

② 抽象出公理一

问题一:如何用图形表示公理一?

问题二:要求学生将公理一表示成数学符号的形式;

问题三:公理一有什么功能?

③ 动画演示公理一

⑵ 公理二

① 学生操作,研究过空间中三点能确定几个平面

问题一:若三点共线,能确定几个平面?

问题二:要确定一个平面,需要三点满足什么条件?

学生通过操作,体会公理二所表达的含义。

② 抽象出公理二

问题一:如何用图形表示公理二?

问题二:要求学生将公理二表示成数学符号的形式;

问题三:还能根据什么条件确定一个平面?引出三推论。

问题四:公理二及三推论有什么功能?

③ 动画演示公理二及三推论

⑶ 公理三

① 学生操作,展示两个平面只有一个公共点

问题一:两个平面真的只有一个公共点么?

问题二:这个公共点与这条公共直线有什么关系?

学生通过操作,体会公理三所表达的含义。

② 抽象出公理三

问题一:如何用图形表示公理三?

问题二:要求学生将公理三表示成数学符号的形式;

问题三:公理三有什么功能?

③ 动画演示公理三

教学活动3

三、归纳总结,加深理解

⒈平面具有无限延展性;

⒉ 公理一有什么功能?条件是什么?

⒊ 公理二有什么功能?条件是什么?

⒋ 公理三有什么功能?条件是什么?

教学活动4

四、布置作业,课外研讨

⒈ 课后练习P43:1、2、3、4;

⒉平面几何中证明平行四边形有哪些定理?这些定理在空间中能否成立?说明理由。

篇9:高中数学必修2课程教案

一、教材分析

在上一节认识空间几何体结构特征的基础上,本节来学习空间几何体的表示形式,以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是:画出空间几何体的三视图.

比较准确地画出几何图形,是学好立体几何的一个前提.因此,本节内容是立体几何的基础之一,教学中应当给以充分的重视.

画三视图是立体几何中的基本技能,同时,通过三视图的学习,可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构,这种图称之为“三视图”.

教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发,要求学生自己画出球、长方体的三视图;接着,通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务,这是提高学生空间想象力的需要,应当作为教学的一个重点.

三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践,动手作图来完成.因此,教科书主要通过提出问题,引导学生自己动手作图 来展示教学内容.教学中,教师可以通过提出问题,让学生在动手实践的过程中学会三视 图的作法,体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体,在作三视图之前应当提醒学生细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业,让学生在课外完成后,再把自己的作品带到课堂上来展示交流.

值得注意的问题是三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外,教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片,让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.

二、教学目标

1.知识与技能

(1)掌握画三视图的基本技能

(2)丰富学生的空间想象力

2.过程与方法

主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用。

3.情感、态度与价值观

(1)提高学生空间想象力

(2)体会三视图的作用

三、重点难点

教学重点:画出简单组合体的三视图,给出三视图和直观图,还原或想象出原实际图的结构特征.

教学难点:识别三视图所表示的几何体.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

(一)导入新课

思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体?工程师如何制作工程设计图纸?

我们常用三视图和直观图表示空间几何体,三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形;直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上,学习空间几何体的三视图.

教师指出课题:投影和三视图.

思路2.

“横看成岭侧成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实地反映出物体的结构特征,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图),你能画出空间几何体的三视图吗?

教师点出课题:投影和三视图.

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断,请同学们考虑它们是怎样得到的?

图1

②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?

③请同学们观察图2的投影过程,它们的投影过程有什么不同?

图2

④图2(2)(3)都是平行投影,它们有什么区别?

⑤观察图3,与投影面平行的平面图形,分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别?

图3

活动:①教师介绍中国的民间艺术皮影戏,学生观察图片.

②从投影的形成过程来定义.

③从投影方向上来区别这三种投影.

④根据投影线与投影面是否垂直来区别.

⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点.

讨论结果:①这种现象我们把它称为是投影.

②由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影幕.

③图2(1)的投影线交于一点,我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影;图2(2)和(3)的投影线平行,我们把在一束平行光 线照射下形成投影称为平行投影.

④图2(2)中,投影线正对着投影面,这种平行投影称为正投影;图2(3)中,投影线不是正对着投影面,这种平行投影称为斜投影.

⑤在平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形;在中心投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和 直观图.

知识归纳:投影的分类如图4所示.

图4

提出问题

①在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图,请你回忆三视图包含哪些部分?

②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的?

③一般地,怎样排列三视图?

④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图,它们都是平面图形.观察长方体的三视图,你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗?

讨论结果:①三视图包含正视图、侧视图和俯视图.

②光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图叫该几何体的正视图(又称主视图);光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图叫该几何体的侧视图(又称左视图);光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图叫该几何体的俯视图.

③三视图的位置关系:一般地,侧视图在正视图的右边;俯视图在正视图的下边.如图5所示.

图5

④投影规律:

(1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.

(2)一个几何体的正视图和侧视图高度一样,正视图和俯视图长度一样,侧视图和俯视图宽度一样,即正、俯视图——长对正;主、侧视图——高平齐;俯、侧视图——宽相等.

画组合体的三视图时要注意的问题:

(1)要确定好主视、侧视、俯视的方向,同一物体三视的方向不同,所画的三视图可能不同.

(2)判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的,注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置.

(3)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,不可见轮廓线,用虚线画出.

( 4)要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征,即正、俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等,前后对应.

由三视图还原为实物图时要注意的问题:

我们由实物图可以画出它的三视图,实际生产中,工人要根据三视图加工零件,需要由三视图还原成实物图,这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状,主要 通过主、俯、左视图的轮廓线(或补充后的轮廓线)还原成常见的几何体,还原实物图时,要先从三视图中初步判断简单组合体的组成,然后利用轮廓线(特别要注意虚线)逐步作出实物图.

(三)应用示例

思路1

例1 画出圆柱和圆锥的三视图.

活动:学生回顾正投影和三视图的画法,教师引导学生自己完成.

解:图6(1)是圆柱的三视图,图6(2)是圆锥的三视图.

(1) (2)

图6

点评:本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图,做到想图(几何体的实物图)和画图(三视图)相结合.

变式训练

说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.

(1) (2)

图7

答案:图7(1)是正六棱锥; 图7(2)是两个相同的圆台组成的组合体.

例2 试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图.

活动:引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器,这种容器是简单的组合体,其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱.

图8 图9

解:三视图如图9所示.

点评:本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组合体,一定要认真观察,先认识它的基本结构,然后再画它的三视图.

变式训练

画出图10所示的几何体的三视图.

图10 图11

答案:三视图 如图11所示.

思路2

例1 (2007安徽淮南高三第一次模拟,文16)如图12甲所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、C1D1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图12乙中的____________.

甲 乙

图12

活动:要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影,只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影,再顺次连接即得到在该面上的投影,并且在两个平行平面上的投影是相同的.

分析:在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图12乙(1);在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图12乙(2);在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图12乙(3).

答案:(1)(2)(3)

点评:本题主要考查平行投影和空间想象能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点等,画出这 些关键点的投影,再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分,做该类题目容易出现不知所措的情形,避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义,借助于空间想象来完 成.

变式训练

如图13(1)所示,E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心,则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图13(2)的___________.

(1) (2)

图13

分析:四边形BFD′E在正方体ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C;在面DCC′D′上的投影是B;同理,在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是B.

答案:B C

例2 (2007广东惠州第二次调研,文2)如图14所示,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( )

甲 乙 丙

图14

①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱

A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④

分析:由于甲的俯视图是圆,则该几何体是旋转体,又因正视图和侧视图均是矩形,则甲是圆柱;由于乙的俯视图是三角形,则该几何体是多面体,又因正视图和侧视图均是三角形,则该多面体的各个面都是三角形,则乙是三棱锥;由于丙的俯视图是圆,则该几何体是旋转体,又因正视图和侧视图均是三角形,则丙是圆锥.

答案:A

点评:本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征.根据三视图想象空间几何体,是培养空间想象能力的重要方式,这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的几何特征,从而判断三视图所描述的几何体.通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体.

变式训练

1.图15是一几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.

图15 图16

分析:由于俯视图有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体,结合侧视图和正视图,可知该几何体是上面一个圆柱,下面是一个四棱柱拼接成的组合体.

答案:上面一个圆柱,下面是一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图16所示.

2.(2007山东高考,理3)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

图17

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

分析:正方体的三视图都是正方形,所以①不符合题意,排除A、B、C.

答案:D

点评:虽然三视图的画法比较繁琐,但是三视图是考查空间想象能力的重要形式,因此是新课标高考的必考内容之一,足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题.

(四)知能训练

1.下列各项不属于三视图的是( )

A.正视图 B.侧视图 C.后视图 D.俯视图

分析:根据三视图的规定,后视图不属于三视图.

答案:C

2.两条相交直线的平行投影是( )

A.两条相交直线 B.一条直线

C.两条平行直线 D.两条相交直线或一条直线

图18

分析:借助于长方体模型来判断,如图18所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,一束平行光线从正上方向下照射.则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD,相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.

答案:D

3.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边,桌上一张纸上写着数字“9”,如图19所示.甲说他看到的是“6”,乙说他看到的是“ 6”,丙说他看到的是“ 9”,丁说他看到的是“9”,则下列说法正确的是( )

图19

A.甲在丁的对面,乙在甲的左边,丙在丁的右边

B.丙在乙的对面,丙的左边是甲,右边是乙

C.甲在乙的对面,甲的右边是丙,左边是丁

D.甲在丁的对面,乙在甲的右边,丙在丁的右边

分析:由甲、乙、丙、丁四人的叙述,可以知道这四人的位置如图20所示,由此可得甲在丁的对面,乙在甲的右边,丙在丁的右边.

图20

答案:D

4.(2007广东汕头模拟,文3)如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个几何体为( )

A.棱锥 B.棱柱 C.圆锥 D.圆柱

分析:由于俯视图是一个圆及其圆心,则该几何体是旋转体,又因正视图与侧视图均为全等的等边三角形,则该几何体是圆锥.

答案:C

5.(2007山东青岛高三期末统考,文5)某几何体的三视图如图21所示,那么这个几何体是( )

图21

A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台

分析:由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥.

答案:B

6.(2007山东济宁期末统考,文5)用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图22所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )

图22

A.8 B.7 C.6 D.5

分析:由正视图和侧视图可知,该几何体有两层小正方体拼接成,由俯视图,可知最下层有5个小正方体,由侧视图可知上层仅有一个正方体,则共有6个小正方体.

答案:C

7.画出图23所示正四棱锥的三视图.

图23

分析:正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形,对角线体现正四棱锥的四条侧棱.

答案:正四棱锥的三视图如图24.

图24

(五)拓展提升

问题:用数个小正方体组成一个几何体,使它的正视图和俯视图如图25所示,俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.

(1)你能确定 哪些字母表示的数?

(2)该几何体可能有多少种不同的形状?

图25

分析:解决本题的关键在于观察正视图、俯视图,利用三视图规则中的“在三视图中,每个视图都反映物体两个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸,俯视图反映物体的前后和左右尺寸,侧视图反映物体的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”,所以,我们可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值为2.

解:(1)面对数个小立方体组成的几何体,根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论:

①a=3,b=1,c=1;

②d,e,f中的最大值为2.

所以上述字母中我们可以确定的是a=3,b=1,c=1.

(2)当d,e,f中有一个是2时,有3种不同的形状;

当d,e,f有两个是2时,有3种不同的形状;

当d,e,f都是2时,有一种形状.

所以 该几何体可能有7种不同的形状.

(六)课堂小结

本节课学习了:

1.中心投影和平行投影.

2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律.

3.由三视图判断原几何体的结构特征.

(七)作业

习题1.2 A 组 第1、2题.

篇10:高中数学必修2课程教案

共1课时

1教学目标

一、知识与技能:1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理;

2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题,从而能够通过化归解决有关问题,进一步体会数学转化的思想。

二、过程与方法:通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理,培养学生的自主学习能力,发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。

三、情感、态度与价值观:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣,从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

2重点难点

教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。

教学难点:线与面的性质定理的应用。

3教学过程 3.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】问题引入

一、问题引入

木工小刘在处理如图所示的一块木料,已知木料的棱BC∥平面A′C′.现在小刘要经过平面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开,却不知如何画线,你能帮助他解决这个问题吗?

预设:(1)过P作一条直线平行于B′C′;

(2)过P作一条直线平行与BC。

(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣,带着问题学习目的性更强,效果也会更好。)

活动2【讲授】新课讲授

二、知识回顾

判定一条直线与一个平面平行的方法:

1、定义法:直线与平面没有公共点。

2、判定定理法:平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。(线线平行→线面平行)

三、知识探究(一)

思考一:如果直线a与平面α平行,那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?

答:平行或异面。

思考2:若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

答:无数条;平行。

思考3:如果直线a与平面α平行,经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

答:平行;因为a∥α,所以a与α没有公共点,则a与b没有公共点,又a与b在同一平面β内,所以a与b平行。

思考4:综上分析,在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么结论?

答:如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。)

四、知识探究(二)

定理:如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

定理可简述为:线面平行,则线线平行。

直线与平面平行的性质定理的符号表示:

(由图形语言到文字语言,再到符号语言,一步一步深化学生对该定理的理解)

活动3【练习】课堂练习

五、应用示例

练习1:判断下列命题是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”。

(1)如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面。 ( × )

(2)如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行。 ( × )

(3)如果直线a,b和平面α满足a ∥α,b ∥α,那么a ∥b。 ( × )

例3 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A′C′.

(1)要经过面A′C′ 内一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?

(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

分析:经过木料表明A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P做截面,也就是找出平面与平面的交线。我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理2、公理4作出。

练习2:如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,求证:FG∥BD.

活动4【讲授】课堂小结

六、课堂小结

1、直线与平面平行的判定定理

(1)定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

(2)线线平行→线面平行

2、直线与平面平行的性质定理

(1)定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

(2)线面平行→线线平行

(课堂总结从文字语言、图形语言、符号语言三方面强调总结两个定理。)

活动5【作业】课后作业

P61练习,习题2.2A组:1,2. (做在书上)

P62习题2.2A组:5,6.

2.2直线、平面平行的判定及其性质

课时设计 课堂实录

2.2直线、平面平行的判定及其性质

1第一学时 教学活动 活动1【导入】问题引入

一、问题引入

木工小刘在处理如图所示的一块木料,已知木料的棱BC∥平面A′C′.现在小刘要经过平面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开,却不知如何画线,你能帮助他解决这个问题吗?

预设:(1)过P作一条直线平行于B′C′;

(2)过P作一条直线平行与BC。

(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣,带着问题学习目的性更强,效果也会更好。)

活动2【讲授】新课讲授

二、知识回顾

判定一条直线与一个平面平行的方法:

1、定义法:直线与平面没有公共点。

2、判定定理法:平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。(线线平行→线面平行)

三、知识探究(一)

思考一:如果直线a与平面α平行,那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?

答:平行或异面。

思考2:若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

答:无数条;平行。

思考3:如果直线a与平面α平行,经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

答:平行;因为a∥α,所以a与α没有公共点,则a与b没有公共点,又a与b在同一平面β内,所以a与b平行。

思考4:综上分析,在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么结论?

答:如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。)

四、知识探究(二)

定理:如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

定理可简述为:线面平行,则线线平行。

直线与平面平行的性质定理的符号表示:

(由图形语言到文字语言,再到符号语言,一步一步深化学生对该定理的理解)

活动3【练习】课堂练习

五、应用示例

练习1:判断下列命题是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”。

(1)如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面。 ( × )

(2)如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行。 ( × )

(3)如果直线a,b和平面α满足a ∥α,b ∥α,那么a ∥b。 ( × )

例3 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A′C′.

(1)要经过面A′C′ 内一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?

(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

分析:经过木料表明A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P做截面,也就是找出平面与平面的交线。我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理2、公理4作出。

练习2:如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,求证:FG∥BD.

活动4【讲授】课堂小结

六、课堂小结

1、直线与平面平行的判定定理

(1)定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

(2)线线平行→线面平行

2、直线与平面平行的性质定理

(1)定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

(2)线面平行→线线平行

(课堂总结从文字语言、图形语言、符号语言三方面强调总结两个定理。)

活动5【作业】课后作业

P61练习,习题2.2A组:1,2. (做在书上)

P62习题2.2A组:5,6.

篇11:北师大高中数学必修2教案

教学目标:①掌握对数函数的性质。

②应用对数函数的性质可以解决:对数的大小比较,求复

合函数的定义域、值 域及单调性。

③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高

解题能力。

教学重点与难点:对数函数的性质的应用。

教学过程设计:

⒈复习提问:对数函数的概念及性质。

⒉开始正课

1 比较数的大小

例 1 比较下列各组数的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

师:请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征?

生:这两个对数底相等。

师:那么对于两个底相等的对数如何比大小?

生:可构造一个以a为底的对数函数,用对数函数的单调性比大小。

师:对,请叙述一下这道题的解题过程。

生:对数函数的单调性取决于底的大小:当0

调递减,所以loga5.1>loga5.9 ;当a>1时,函数y=logax单调递

增,所以loga5.1

板书:

解:Ⅰ)当0

∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

Ⅱ)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,

∵5.1<5.9 ∴loga5.1

师:请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征?

生:这三个对数底、真数都不相等。

师:那么对于这三个对数如何比大小?

生:找“中间量”, log0.50.6>0,lnЛ>0,logЛ0.5<0;lnЛ>1,

log0.50.6<1,所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板书:略。

师:比较对数值的大小常用方法:①构造对数函数,直接利用对数函

数 的单调性比大小,②借用“中间量”间接比大小,③利用对数

函数图象的位置关系来比大小。

2 函数的定义域, 值 域及单调性。

篇12:高中数学必修2立体几何怎么学

一、逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此,历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时,首先要保持严密性,对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致,定理的所有条件都具备了,才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次,在论证问题时,思考应多用分析法,即逐步地找到结论成立的充分条件,向已知靠拢,然后用综合法(“推出法”)形式写出。

二、立足课本,夯实基础

学习立体几何的一个捷径就是认真学习课本中定理的证明,尤其是一些很关键的定理的证明。定理的内容都很简单,就是线与线,线与面,面与面之间的联系的阐述。但定理的证明在初学的时候一般都很复杂,甚至很抽象。深刻掌握定理的内容,明确定理的作用是什么,多用在那些地方,怎么用。

三、培养空间想象力

为了培养空间想象力,可以在刚开始学习时,动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如:正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察,逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次,要培养自己的画图能力。可以从简单的图形(如:直线和平面)、简单的几何体(如:正方体)开始画起。最后要做的就是树立起立体观念,做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如:纸、黑板)上,还要能根据画在平面上的“立体”图形,想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想,而是以提设为根据,以几何体为依托,这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

四、“转化”思想的应用

解立体几何的问题,主要是充分运用“转化”这种数学思想,要明确在转化过程中什么变了,什么没变,有什么联系,这是非常关键的。例如:

(1)两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

(2)异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离,也可以转化为两平行平面的距离,即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离,再转化为点面距离,点面距离又可转化为点线距离。

(3)面和面平行可以转化为线面平行,线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到,它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直,进而转化为线线垂直。

五、建立数学模型

新课程标准中多次提到“数学模型”一词,目的是进一步加强数学与现实世界的联系。数学模型是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的描述。数学模型的形式是多样的,它们可以是几何图形,也可以是方程式,函数解析式等等。实际问题越复杂,相应的数学模型也越复杂。

从形状的角度反映现实世界的物体时,经过抽象得到的空间几何体就是现实世界物体的几何模型。由于立体几何学习的知识内容与学生的联系非常密切,空间几何体是很多物体的几何模型,这些模型可以描述现实世界中的许多物体。他们直观、具体、对培养大家的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体,特别是长方体,其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系,是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体。学习时,一方面要注意从实际出发,把学习的知识与周围的实物联系起来,另一方面,也要注意经历从现实的生活抽象空间图形的过程,注重探索空间图形的位置关系,归纳、概括它们的判定定理和性质定理。

篇13:高中数学必修2立体几何怎么学

1.平行、垂直位置关系的论证的策略:

(1)由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑。

2.空间角的计算方法与技巧:

主要步骤:一作、二证、三算;若用向量,那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法:②补形法:③向量法:

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角,关键是作垂线,找射影转化到同一三角形中计算,或用向量计算。

②用公式计算.

(3)二面角

①平面角的作法:(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法:

(i)找到平面角,然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法 ;(iii)向量夹角公式.

3. 空间距离的计算方法与技巧:

(1)求点到直线的距离:经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关的三角形中求解,也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离:一般先找出其公垂线,然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下,可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离:一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线,进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时,我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离,从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4. 熟记一些常用的小结论,诸如:正四面体的体积公式是 ;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件,这可能是快速解答某些问题的前提。

5.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题,要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

6.与球有关的题型,只能应用“老方法”,求出球的半径即可。

7.立体几何读题:

(1)弄清楚图形是什么几何体,规则的、不规则的、组合体等。

(2)弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。

(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直,线线平行、线面平行等。

8、解题程序划分为四个过程:

①弄清问题:也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?也就是我们常说的审题。

②拟定计划:找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。

③执行计划:以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。

④回顾:对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。

篇14:高中数学必修2说课稿

各位老师大家好!

我说课的内容是人教 版 A版必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率第一课时。

(一) 教材分析

本节课选自必修2第三章(解析几何的第一章)第一节直线的倾斜角与斜率第一课时,直线的倾斜角和斜率解析几何的重要概念;是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示;学生在原有的对直线的有关性质及平面向量的相关知识理解的基础上,重新以解析法的方式来研究直线相关性质,而本节课直线的倾斜角与斜率,是直线的重要的几何性质,是研究直线的方程形式,直线的位置关系等的思维的起点;另外,本节课也初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法。因此,本课有着开启全章、渗透方法,承前启后的作用。

(二) 学情分析

本节课的 教学 对象是高二学生,这个年龄段的学生天性活泼,求知欲强,并且学习主动,在知识储备上 知道两点确定一条直线, 知道点与坐标的关系,实现了最简单的形与数的转化;了解刻画倾斜程度可用角和正切值;具备了一定的数形结合的能力和分类讨论的思想。但根据学生的认知规律,还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能力。所以在教学设计时需 从 学生的最近发展区进行探究学习,尽量让不同层次的学生都经历概念的形成、巩固 和应用过程。

(三)教学目标

1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念, 理解直线的倾斜角的唯一性和斜率的存在性;

2. 掌握过两点的直线斜率的计算公式 ;

3. 通过经 历从具体实例抽象出数学概念的过程,培养学生观察、分析和概括能力;

4 . 通过斜率概念的建立以及斜率公式的构建,帮助学生进一步体会数形结合的思想,培养学

生严谨求简的数学精神。

重点:斜率的概念,用代数方法刻画直线斜率的过程,过两点的直线斜率的计算公式。

难点: 直线的倾斜角与斜率的概念的形成 ,斜率公式的构建。

(四)教法和学法

课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展,即在课堂教学过程中,创设问题的情景,激发学生主动的发现问题解决问题,充分调动学生学习的主动性、积极性;有效的渗透数学思想方法,发展学生个性思维品质,这是本节课的教学原则。 根据这样的教学原则,考虑到学生首次接触解析几何的内容及研究方法,所以我采用 设置问题串 的形式 , 启发引导 学生 类比、联想,产生知识迁移 ;通过 几何画板演示实验、探索交流 相结合的教学方法激发学生 观察、实验,体验知识的形成过程 ;由此循序渐进 , 使学生很自然达到本节课的学习目标。

( 五) 教学过程

环节 1.指明研究方向 (3min)

平面上的点可以用坐标表示,也就是几何问题代数化。那么我们生活中见到的很多优美的曲线能否用数来刻画呢?

简介17 世纪法国数学家笛卡尔和费马的数学史 。

【设计意图】 使学生对解析几何的历史以及它的研究方向有一个大致的了解

由此引入课题(直线的倾斜角与斜率)

环节2.活动探究(13min)

【设计意图】 让学生经历探究过程后掌握倾斜角和斜率两个概念,体会概念的产生是自然的,并不是硬性规定的。

(探究活动一:倾斜角概念的得出)

问题1. 如图,对于平面直角坐标系内过两点有且只有一条直线,过一点P的位置能确定吗?如图,这些不同直线的区别在哪里?

【设计意图】引导学生发现过定点的不同直线,其倾斜程度不同。从而发现过直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

问题2. 在直角坐标系中,任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜程度,可以用一个什么样的几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢?

【设计意图】引导学生探索描述直线的倾斜程度的几何要素, 由此引出倾斜角的概念:直线L与x轴相交,我们取x轴为基准,x轴正向与直线L向上的方向之间所成的角α叫做直线L的倾斜角。

问题3. 依据倾斜角的定义,小组合作探究倾斜角的范围是多少?

(探究活动二:斜率概念的得出)

问题4. 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

问题5 . 如果使用“倾斜角”的概念,坡度实际就是 倾斜角的正切值,由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度?

由学生已知坡度中“前进量”不能为0 ,补充 倾斜角 是90゜的直线 没有斜率

【设计意图】 迁移、类比得出 我们把 一条直线的 倾斜角  的正切值叫做 这条 直线的 斜率 , 让学生感受数学概念来源于生活,并体验从直观到抽象的过程培养学生观察、归纳、联想的能力。

环节 3.过程体验(斜率公式的发现)(10min)

问题6. 两点能确定一条直线,那么两点能确定一条直线的斜率么?

先由每名学生各自举出两个特殊的点。例如A(1,2)、B(3,4),独立研究如何由这两点求斜率,再通过学生相互讨论,师生共同交流提炼出解决问题的一般方法,进而把这种方法迁移到一般化的问题上来。得出斜率公式k=y2y1。

为了深化对公式的理解,完善对公式的认识,我设计了如下三个思考问题:

思考1:如果直线AB//x轴,上述结论还适用吗?

思考2:如果直线AB//y轴,上述结论还适用吗?

思考3:交换A、B位置,对比值有影响吗?

在学生充分思考、讨论的基础上,借助信息技术工具,一方面计算 的 值,另一方面计算倾斜角的正切值。让学生亲自操作几何画板,改变直线的倾斜程度,动态演示可以把教科书第84页图3.1-4所示的各种情况都展示出来,形象直观,可使学生更好的把握斜率公式。

环节4. 操作建构(10min)

第一部分( 教材例一 ) : 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断倾斜角是锐角还是钝角。

学生独立完成后,请三位学生作答,师生共同评析,明确斜率公式的运用,强调可以从形的角度直接判断直线的倾斜角是锐角还是钝角,也可由直线的斜率的正负判断。

第二部分 ( 教材例二 ) : 在平面直角坐标系中,画出经过原 点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线

本题要求学生画图,目的是加强数形结合,我将请两位同学上台板演,其余同学在练习本上完成,因为直线经过原点,所以只要在找出另外一点就可确定,再推导斜率公式时,学生已经知道,斜率k的值与直线上P1,P2的位置无关,因此,由已知直线的斜率画直线时,可以再找出一个特殊点即可。

环节 5.小结作业(4min)

1、本节课你学到了哪些新的概念?他们之间有什么样 的关系?

2、怎样求出已知两点的直线的斜率?

3 、本节课你还有哪些问题?

两点 直线 倾斜角 斜率

一点一方向

作业: 必做题: P.86 第1,2,题

选做题: P.90 探究与发现:魔法师的地毯

以上五个环节环环相扣,层层深入,以明线和暗线双线渗透。并注意调动学生自主探究与合作交流。注意教师适时的点拨引导,学生主体地位和教师的主导作用 得以 体现。能够较好的实现教学目标,也使课标理念能够很好的得到落实。

(六) 板书设计

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

1定义: 倾斜角 学生板演

斜率

2.斜率k与倾斜角之间的关系

3.斜率公式

篇15:高中数学必修二教案

人教版高中数学必修二教案

人教版高中数学必修二 直线与圆的方程的应用 教案 人教版高中数学必修二 圆与圆的位置关系教案 人教版高中数学必修二 直线与圆的位置关系教案 人教版高中数学必修二 圆的一般方程教案 高一数学 圆的标准方程教案 数学必修二 两条直线的位置关系D点到直线的距离公式教案 直线与直线之间的位置关系-两点间距离 教案 人教版高中数学必修二 两直线的交点坐标 教案.doc 人教版高中数学必修二 直线的一般式方程 教案 人教版高中数学必修二 直线的两点式方程教案.doc 高一数学3.2.1 直线的点斜式方程教案.doc 高一数学3.1.2两条直线的平行与垂直 教案.doc 人教版高中数学必修二 直线的倾斜角和斜率教案 人教版高中数学必修二直线与平面垂直的性质 教案 人教版高中数学必修二平面与平面垂直的判定教案 人教版高中数学必修二 直线与平面垂直的判定教案 人教版高中数学必修二 直线与平面、平面与平面平行的'性质教案 高一数学平面与平面平行的判定教案 人教版高中数学必修二 直线与平面平行的判定 教案 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 教案 数学必修二 空间中直线与直线之间的位置关系 教案 高中数学必修二平面教案 人教版高中数学必修二 球的体积和表面积教案 高中数学必修2 柱体、锥体、台体的表面积与体积教案 人教版高中数学必修2 空间几何体的直观图教案 人教 高中数学必修2 空间几何体的三视图

篇16:高中数学必修5教案

人教版高中数学必修5教案

(一)课标要求

本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习,学生应当达到以下学习目标:

(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。

(2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

(二)编写意图与特色

1.数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”,“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题:“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学。

2.注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好准备,能使整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的`问题。”这样,从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容,

位置相对靠后,在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容,这使这部分内容的处理有了比较多的工具,某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对于三角形进行讨论,方法不够简洁,教科书则用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”,并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从上可知,余弦定理是勾股定理的推广.”

3.重视加强意识和数学实践能力

学数学的最终目的是应用数学,而如今比较突出的两个问题是,学生应用数学的意识不强,创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学知识应用到实际问题中去,对所学数学知识的实际背景了解不多,虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强,但当面临一种新的问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况,本章重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用于实际问题。

(三)教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理(约3课时)

1.2应用举例(约4课时)

1.3实习作业(约1课时)

(四)评价建议

1.要在本章的教学中,应该根据教学实际,启发学生不断提出问题,研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,应该因势利导,根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理,可以启发得到有应用向量方法的证明,对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中,一个问题也常常有多种不同的解决方案,应该鼓励学生提出自己的解决办法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法。

2.适当安排一些实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力,增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导,包括对于实际测量问题的选择,及时纠正实际操作中的错误,解决测量中出现的一些问题。

篇17:高中数学必修五教案

教学目标

A、知识目标:

掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。

B、能力目标:

(1)通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

(2)利用以退求进的思维策略,遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式,培养学生类比思维能力。

(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力。

C、情感目标:(数学文化价值)

(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

(2)通过公式的运用,树立学生“大众教学”的思想意识。

(3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。

教学重点:

等差数列前n项和的公式。

教学难点:

等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法:

启发、讨论、引导式。

教具:

现代教育多媒体技术。

教学过程

一、创设情景,导入新课。

师:上几节,我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事,小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学习题:“把从1到100的自然数加起来,和是多少?”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算,那你们就是二十世纪末的新高斯。(教师观察学生的表情反映,然后将此问题缩小十倍)。我们来看这样一道一例题。

例1,计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。

这道题除了累加计算以外,还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后,让学生自行发言解答。

二、教授新课(尝试推导)

师:如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项an,根据等差数列的性质,如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢?根据上面的例子同学们自己完成推导,并请一位学生板演。

上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式(I)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n。引导学生总结:这些公式中出现了几个量?(a1,d,n,an,Sn),它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n—1)d,Sn==na1+ d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到:只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。

师:通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的性质,主动积极地去学习。

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