【导语】“猩猩打狗”通过精心收集，向本站投稿了9篇历届全国初中数学联赛试题，以下是小编为大家整理后的历届全国初中数学联赛试题，欢迎阅读与收藏。
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篇1：历届全国初中数学联赛试题
历届全国初中数学联赛试题
一、选择题:（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b a2＞b2; (B)a≠b a2≠b2; (C)|a|＞b a2＞b2; (D)a＞|b| a2＞b2
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）
（A）0 (B) 3 (C) 22005 (D)322005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为 正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的`图像的对称轴，则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0
二、填空题:（每小题7分，共计28分）
1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。
四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y=a+c－b ,z= b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2=y , =2,试求积abc的所有可能的值。
参考解答及评分标准
一、选择题（每小题7分，共计42分）
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C
二、填空题 （每小题7分，共计28分）
1、a2－2 2、3、45° 4、12
三、解：∵原点是线段AB的中点 点A和点B关于原点对称
设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（Da，Db）……5分
又 A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：
…………………………10分
解之得： a = 1 , b = 4 或者a = －1 ,b = －4…………………15分
故 A为（1，4），B为（-1，-4） 或者 A（-1，-4），B（1，4）.……20分
四、解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4
∴ΔCDE∽ΔCAD
∴ ① ………………5分
又∵ΔADE∽ΔBDA
∴ ② ………………10分
由①、②及AB=AC，可得AE=CD …………15分
又由ΔCDE∽ΔCAD可得 ，即AE2=CD2=CECA …………20分
设AE=x，则CE=d－x ，于是 x2=d(d－x)
即有AE = x = （负值已舍去） ……………………25分
五、解：∵a+b－c=x, a+c－b=y, b+c－a =z ,
∴a= , b= , c= …………………5分
又∵ y=x2 ,
故 a= ---(1);
b= -----(2)
c= ----(3)
∴x= ---------------(4)
∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。 ………………10分
于是，2a= ，其中a是质数，故有 =2, =a
∴T=5,a=3 ……………………15分
将a=3代入（4） 得 x=2或－3.
当x=2时，y=x2=4,
因而 －2=2， z=16 ，
代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，
与b、c是质数矛盾，当舍去。 ……………………20分
当x=－3时，y=9 . －3=2,
∴z=25
代入（2）、（3）可得 b=11，c=17
∴abc=3×11×17=561 ……………………………25分
篇2：全国初中数学联赛
全国初中数学联赛
全国初中数学联赛是由中国数学会所举办的全国性数学竞赛，是初中数学学科最重要的竞赛。通常在每年4月举行，分为一试和二试，第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题6题、填空题4题，共70分。第二试着重分析问题和解决问题的能力，题型为三道解答题，内容分为代数题、几何题、几何代数综合题或杂题，共70分，两试合计共140分。从近几年的命题来看，初中联赛试题风格趋向稳定。
全国初中数学联赛成绩公布的时间各省市不尽相同，北京市公布时间大约在五月底至六月。在北京，全国初中数学联赛的获奖成绩常常被作为人大附中、四中等重点高中提前录取的一个重要参考。
全国初中数学联赛另一个意义在于对全国高中数学联赛的`提前准备，在北京市，几乎所有的高中联赛进入决赛的选手大多都获得过初中数学联赛的奖项。
篇3：数学全国联赛模拟试题
命题人：刘清
一．选择题（每题5分，共60分）
1．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、则不同的选课方案有（ ）种
A.35 B.16 C.20 D.25
2.已知为平面上的一个定点，A、B、C满足条件通过的（ ），的轨迹一定
A．重心 B．垂心
3.函数函数f(x)=ax2x=-对称．据此可推测对任意的非0实数a、mngx的方程m[f(x)]2+nf(x)+g=0的解集不可能是( )
A.{1，3} C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}
4.在△ABCa=2，b=，A=45°，则B等于（ ）
A. 30° B. 60° °或150° D. 60°或120°
5.运行如图所示的程序框图，则输出的实数对（x，y）所对应的点都在函数（ ）
A. y=x+1图像上
B. y=2x图像上
C. y=2x图像上
D. y=2x-1图像上
6.已知Z1，Z2Z1≠Z2Z1和点Z2．如果1z对应的点Z的集合是（ ）
A．双曲线
B.1
C．分别过ZZ2的两条相交直线
D．椭圆
7.1，2，?，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，?n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的`数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（ ）
A、等腰非等边三角形
B、等边三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形
10.已知函数f(n)＝,等于( ) ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2014
A．－2013 B．－2014 C．2013 D．2014
11.如右图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，一质点从312，?顶点A射向点E?4，，将i?1次到第i次反射点之间的线段记为Li?i?2,3,4?，L112,4竖直
12.定义域为R的函数f?x?满足f?x?2??2f?x?，当x??0,2?时，2?x??x,x??0,1?t1f?x???x?1.5fx????,x??1,2?x???4,?2??42t恒成立，则实数t的取???0.5?，若时，值范围是（ ）
A.??2,0??0,1? B.??2,0??1,??? C.??2,1? D.???,?2??0,1?
二．填空题（每小题5分，共20分）
13.①处
14. ，b1＝1，v，则u
15.不等式
11?AB11?+A1A2?1≥An成立.
f(x)在定义域内给定区间[a，b]上存在x0(a?x0?b)，满足16. 定义：如果函数y?
篇4：全国数学联赛模拟题
第一试
一、选择题（每小题6分，共36分）：
a2 x2
1f x 是奇函数的充要条件是
x a a
（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0
2 （A）点A在直线l上 （B）点B在直线l上 （C）点C在直线l上 （C）点A、B、C均不在直线l上 3，过顶点A在空间作直线l，使l与直线AC和BC所成的角1
都等于60°．这样的直线l可以做
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（A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条
100
4n C
200
（A）61 （C）83 （B）67 （D）97
5y f x
x 大值等于 （A）3 （B）4 （C）7 （D）8
6再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，第2003个数是 （A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006
二、填空题（每小题9分，共54分）：
＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|zm∈R，m∈N
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篇5：全国数学联赛模拟题
＝
1
，m∈M}．则集合P所有元素之和等于 m2
．
4
x2 2a2 2x a2 4a 7
0 222
x a 4a 5x a 4a 7
的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是 ．
计项目M有可能获得19%到24%的.年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．
2＋by2＝1在圆x2＋y2
的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范围
是 ．
6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、，则tan( ＋ )的值是 ．
三、（20分）
△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件 （i）a、b、c均为整数；
（ii）a、b、c依次成等比数列； （iii）a与c中至少有一个等于100．
求出(a,b,c)的所有可能的解．
四、（20分）
在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．
五、（20分）
设正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．证明： （1） max{a,b,c}≥
篇6：全国中学生生物学联赛试题
全国中学生生物学联赛试题
一、细胞生物学、生物化学、微生物学（18 题 22 分）
1. 兼性异染色质具有( )的特征 （单选 1 分）
A. 染色质始终凝集从不转录
B.染色质松散时可以转录
C.染色质始终凝集可以转录
D.染色质松散时不可以转录
2. 亨廷顿氏（Humtington）舞蹈病是由于编码 huntingtin 蛋白基因碱基序列( 复造成的一种遗传疾病。（单选 1 分）
A. AGC
B.GGG
C. CAG
D.CGA
3. 癌细胞一般具哪种细胞活动特征？（单选 1 分）
A. 核酸合成减弱
B.细胞周期停滞
C.蛋白质合成减弱
D. 糖酵解显著增强
4. 细胞凋亡和程序性坏死的主要区别包括（多选 2 分）
A. 是否引发炎症反应
B.有无信号转导过程
C.有无蛋白质合成
D.是否随机降解
DNA
5. 关于胆固醇描述正确的是（多选 2 分）
A. 细胞质膜内外小叶均有分布
B.仅分布在细胞质膜的外小叶
C.胆固醇是各种生物体细胞质膜固有成分
D.胆固醇是细胞质膜中脂筏的基本结构组分之一 )过度重
生物 竞赛
6. 以下有关光学显微镜和电子显微镜分辨率的描述，正确的是（多选2分）
A. 光学显微镜的分辨率能达到 1nm
B.光学显微镜能观察到多数病毒
C.电子显微镜的分辨率能达到 0.1nm
D.电子显微镜能观察到蛋白和核酸分子
7. 溶酶体的功能包括（多选 2分）
A. 降解由胞外环境进入胞内的物质
B.清除无用生物大分子及衰老细胞器
C.吞噬和自噬
D.胞吐
8. 以下对生物膜“流动镶嵌模型”描述正确的是（单选 1分）
A. 脂膜由脂双层构成 ，内外表面各分布一层球状蛋白质
B.脂膜由脂双层构成 ，中间有一层蛋白质
C.脂膜由脂双层构成 ，蛋白质以不连续的颗粒形式嵌入脂层，脂分子可以移动，蛋白质不 可以移动
D.脂膜由脂双层构成，蛋白质以不连续的颗粒形式嵌入脂层，蛋白质与脂均呈流动状态
9. 细胞中的核糖体根据定位不同可分为游离核糖体和结合核糖体，下列哪一组细胞器蛋白 由游离核糖体合成？（单选 1分）
A. 线粒体，叶绿体，分泌泡
B.内质网，细胞核，高尔基体
C.细胞核，线粒体，溶酶体
D.线粒体，细胞核，叶绿体
10. 如果线粒体内膜的不通透性被破坏，会导致以下那种结果？（单选1 分）
A. 氢离子梯度无法形成，ATP 无法产生
B.糖酵解无法进行
C.三羧酸循环无法生成ATP
D.电子传递链无法将 NADH的电子传到 O2
11. 内质网是细胞“钙库”之一，以下正确的是（单选 1分）
A. 钙离子从胞质扩散到内质网中
B.内质网上钙泵将钙离子从胞质主动运输到内质网
C.钙离子通过内质网上钙离子通道主动运输到内质网
D . 钙离子通过钠钾泵协同转运到内质网
12. 真核细胞有丝分裂的意义在于（单选 1分）
A. 保证母细胞完整地一分为二
B.保证复制后的染色体平均分配到两子细胞中
C.保证母细胞的细胞质平均分配到两子细胞中
D.保证母细胞细胞器平均分配到两子细胞中
生物 竞赛
13. 癌细胞与正常细胞的不同之处在于（单选 1分）
A. 癌细胞不能合成DNA
D.癌细胞被锁定在细胞周期中的S 期
C.癌细胞不受细胞周期检验点的控制
D.癌细胞始终处于细胞周期的分裂期
14. 拟南芥叶肉细胞有 5 对染色体，下列关于拟南芥细胞染色体数目叙述正确的是（单选1 分）
A. 成熟花粉粒中的营养细胞有 10条染色体
B.珠被细胞有10 条染色体
C.胚乳细胞 5条染色体
D.胚囊细胞有 10条染色体
15. 关于大肠杆菌与小鼠细胞相同的特性描述正确的是（单选1分）
A. 均含环状DNA线状DNA
B.均不含线状DNA及核糖体
C.均含环状 DNA及核糖体
D.均含细胞核和核糖体
16. 光呼吸涉及三个细胞器的相互协作，分别是（单选 1分）
A. 叶绿体、高尔基体和线粒体
B.叶绿体、过氧化物酶体和溶酶体
C.叶绿体、过氧化物酶体和线粒体
D.叶绿体、内质网和线粒体
17. 在细胞生长过程中可以向胞外分泌可溶性色素的微生物是（单选 1分）
A. 粘红酵母(Rhodotorula glutinis)
B.黑曲霉(Aspergillus nige)
C.天蓝色链霉菌(Streptomyces colicolor)
D.金黄色葡萄球菌(Staphylococcus aureus)
18. 红曲霉是食品工业常用的菌株，其生活的细胞参与 TCA循环的酶系存在于线粒体的（单 选1分）
A. 内膜 B.基质 C. 嵴间隙 D.膜间隙
二、植物和动物的解剖、生理、组织和器官（22题 30分）
19. 以下对根冠细胞的描述，不正确的是（单选1分）
A. 根冠细胞的壁仅具中胶层和初生壁
B.根冠中央的细胞常含有淀粉粒
C.根冠周围的细胞会不断死亡脱落
D.根冠细胞持续分裂以保持根冠细胞数目大致不变
20. 筛管分子下列哪句不符合筛管与筛胞的发育与结构特征（单选1 分）
A. 执行功能时是生活细胞
生物 竞赛
B.成熟时细胞中缺乏细胞核
C.具有来源于同一原始细胞的伴胞
D.细胞之间通过联络索沟通
21. 关于小麦配子体从珠心原基中的发育开始到胚囊成熟，下列描述错误的是（单选 2 分）
A. 孢原细胞起源于珠心表皮下方
B.大孢子母细胞在减数分裂前逐渐积累胼胝质细胞壁
C.减数分裂产生的'四个大孢子，进一步发育成雌配子体
D.卵细胞位于成熟胚囊的珠孔端
22. 给一个新植物物种进行命名要用双名法，双名法的书写格式是（单选 1分）
A. 科名+属名+定名人 B.属名+种名+定名人
C.属名+种加词+定名人 D.种名+属名+定名人
23. 苔藓植物是现存最古老的陆生植物之一，限制其适应陆生环境的主要特征是（多选2分）
A. 植物体组织分化程度不高，体内无维管组织，输导能力不强
B.没有真根，只能靠假根或其它表皮细胞来行使吸收功能
C.有性生殖过程必须借助于水才能完成
D.性器官外围有不育细胞为之保护
24. 下列有关地钱的叙述哪些是错误的？（单选1分）
A. 地钱营养体可产生胞芽，成熟时脱落并在土中萌发成新一代孢子体
B.颈卵器器分别产卵和，受精过程不能脱离水
C.孢子体简单仅由基足蒴柄孢蒴组成，必须寄生于配子体上
D.卵在颈卵器中完成受精形成胚并进一步发育成孢子体
25. 下列有关松树花粉传播与萌发的描述正确的是（单选1分）
A. 花粉借助风的作用通过珠孔进入胚珠，在贮粉室内萌发形成花粉管并进入雌配子体
B.花粉借助传粉滴的作用通过珠孔进入胚珠，在贮粉室内萌发形成花粉管并进入雌配子体
C.花粉借助风的作用通过珠孔进入胚珠，并萌发形成花粉管通过珠孔进入胚珠和雌配子体
D.花粉借助传粉滴的作用通过珠孔进入胚珠，并萌发形成花粉管通过珠孔进入胚珠和雌配 子体
26. 研究发现，拟南芥中存在脱落酸的受体，感受脱落酸的信号。与野生型相比，确实这类 受体功能的突变体，其可能的表型为（多选2 分）
A. 气孔运动对脱落酸更敏感
B.气孔运动对脱落酸欠敏感
C.更耐旱
D.更不耐旱
27. 营寄生生活的吸虫与自由生活的涡虫的体壁有很大的差别，以下描述正确的是（单选1
生物 竞赛
分）
A. 吸虫的体表没有纤毛，但密布微小的微绒毛
B.吸虫的表皮层没有成杆状体细胞
C.吸虫的表皮是一层合胞体，有一些结晶蛋白所形成的棘钳
D.吸虫由于较少运动，环肌和纵肌退化
28. 节肢动物的一大特征是具有带关节的附肢。在演化的过程中，附肢的形态和功能发生了 变化。以下节肢动物的身体部位不是由附肢演化而来的是（单选1分）
A. 小颚
B.纺啧器
C.中尾丝
D.脚须
29. 两栖类具有多种多样的呼吸方式。反映了其水陆过渡的演化地位。以下不属于两栖类呼 吸方式的是（单选 1分）
A. 鳃呼吸
B.肺呼吸
C.鼻咽腔呼吸
D.皮肤呼吸
30. 有关无脊椎动物循环系统的描述正确的有哪些？（多选 2分）
A. 与胚层和体腔关系密切，真正的循环系统伴随真体腔的形成出现
B.与呼吸形式和呼吸器官的关系密切
C.不存在血细胞，呼吸色素位于血淋巴中
D.没有独立的淋巴系统
31. 以腺上皮为主要组成成分的器官称为腺体。在人体中，外分泌腺的腺细胞有一种常见的 分泌方式：分泌颗粒被界膜包围，释放时分泌颗粒的界膜与质膜融合，从而将分泌物排出， 不损伤细胞的完整性。以上描述的是（单选2 分）
A. 全浆分泌
B.局部分泌
C.融合分泌
D.无损分泌
32. 网状组织主要分布在造血器官和淋巴器官中，形成器官内部的网状支架，并具有防护功 能，它主要由网状细胞、网状纤维和基质构成，来源于胚胎时期的（单选1分）
A. 外胚层
B.中胚层
C.内胚层
D.中胚层和内胚层
篇7：全国初中数学联赛景德镇市获佳绩
全国初中数学联赛景德镇市获佳绩
4月28日上午，全国初中数学联赛（江西赛区）颁奖大会在景德镇一中分校举行。省政协原副主席、数学家戴执中，省数学学会会长欧阳崇珍和市委常委、宣传部长马玉玲，副市长沈薇等出席并为获奖单位和个人颁奖。
据悉，在这次全国数学联赛（江西赛区）赛中，我市连创佳绩，以821分的总分夺得设区市团体总分第一名；景德镇一中分校以420分获学校团体总分第一名，景德镇二中以393分、景德镇一中以381分获学校团体总分并列第二名；景德镇一中分校杨盛、吴宇飞、陈章鑫并列全省个人第一名。景德镇一中分校无论是个人成绩还是团体总分都创全国初中数学联赛全省纪录。
篇8：全国中学生生物学联赛试题复赛
全国中学生生物学联赛试题复赛
注意事项：1.所有试题使用2B铅笔在机读卡上作答；
2.试题按学科分类，单选和多选题混排，多选题答案完全正确才可得分；
3.纸质试卷80题90分，电子试卷40题60分，共计120题，150分；
4.答题时间120分钟。
一．细胞生物学、生物化学、微生物学20题21分
1.线粒体是半自主的细胞器，下列有关其蛋白质来源的描述，错误的是：（单选1分）
A.线粒体可以独立合成蛋白质
B.线粒体蛋白质的大部分由核基因编码
C.线粒体外膜的蛋白质为核基因编码，内膜的蛋白质由线粒体编码
D.线粒体编码的蛋白质是细胞生命活动所必须的
2.视网膜母细胞瘤主要是由于：（单选1分）
A.原癌基因Rb基因突变引起的
B.抑癌基因Rb基因突变引起的.
C.原癌基因P53基因突变引起的
D.抑癌基因P53基因突变引起的
3.现代生物学研究多从‘全局’出发，研究细胞中整体基因的表达规律即生物组学，按照研究层面可进一步分成不同的组学。下列按照基因表达流程正确排列的组学为：（单选1分）
篇9：全国高中数学联赛模拟试题1及答案
全国高中数学联赛模拟试题1及答案
全国高中数学联赛模拟试题（一）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5
x22、函数y （x∈R，x≠1）的递增区间是
x 1
（A）x≥2 （C）x≤0
（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥2
3、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O
为原点）的面积最小，则l的方程为 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0
4、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，则参
2
数a的取值范围是 （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4
＞a5的排列的个数是 （A）8 （B）10 （C）14 （D）16
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程
1
×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2
是 ．
2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝ ． 3、数799被2550除所得的余数是 ．
5
4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝ ．
313
5、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的`两个根为
sin 和cos ，则 的取值范围是． 6、数5 24
2n
（n∈N）的个位数字是
三、（20分）
已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．
求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．
四、（20分）
（1） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根
皆为整数．
（2） 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－
2a＝0有三个整数根．
五、（20分）
试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何 ∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．
第二试
一、（50分）
设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．
a2 b a c z
求证： 1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．
ac b
二、（50分）
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，
D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证： （1） AK⊥BC；
（2） AK AP AQ
2S△ABC
，其中S△ABC表BC
示△ABC的面积．
三、（50分）
给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：
ai4
(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1
n
确定和式S
i 1
n
ai
的值（写成关于n的最简式子）． 2i 1
参考答案
第一试
二、填空题：
1811587
1、或；
3838
3、343；
2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、
53 12
； 26
5、{ | ＝2n ＋ 或2n －
，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 2
1 1 1
x z y z 1 x y
三、证略，等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2．
3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；
（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．
五、rmax＝42．
第二试
a c a c 4b i
一、证略（提示：直接解出z ，通过变形即得充分性成
2
2
立，然后利用反证法证明必要性）．
二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、
CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．
三、S
1
2S△ABC
＝AR＞AT＞BC
2n 12
1．
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