【导语】“一个穷鬼”通过精心收集，向本站投稿了11篇相似三角形判定定理的证明，下面是小编为大家推荐的相似三角形判定定理的证明，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
- 目录
篇1：相似三角形判定定理
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2
篇2：相似三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
篇3：相似三角形判定定理
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似). 角角角
(2)如果一个三角形的'两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)
篇4：相似三角形判定定理的证明
一、教材题目：P102，T1-T4
1．如图，在等边三角形ABC中， D，E，F分别是三边上的.点，AE=BF=CD,那么△ABC 与△DEF相似吗？请证明你的结论。
2．已知：如图， ADDEAE??.求证：AB=AE。
ACABBC
3．已知：如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E, 且AE=AB。
2求证：AE=AD・AC.
4.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
二、补充题目：部分题目来源于《点拨》
1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE交于点O，则图中相似三角形有( ) A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
(第1题)
(第2题)
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列比例式中，错误的是( )
A．AD2＝BD・DC B．CD2＝CF・CA
C．DE2＝AE・BE D．AD2＝AF・AC
5．如图，在△ABC中，BE和CD分别是边AC，AB上的高，求证：△ADE∽△ACB.
(第5题)
答案
教材
1．解：相似．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.又∵AE＝BF＝CD，∴AB－AE＝BC－BF＝AC－CD，即BE＝FC＝AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE＝EF＝FD.∴△DEF是等边三角形．∴△ABC∽△DEF.
ADDEAE2．证明：在△ADE和△CAB中，∵＝，∴△ADE∽△CAB(三边成比例的两个三角形ACABCB相似)．∴∠AED＝∠B.∴AB＝AE.
3．证明：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，即∠EBC＋∠C＝∠ABD＋∠DBE.又∵BE平分∠CBD，
ABAD2∴∠DBE＝∠EBC.∴∠ABD＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴＝.∴AB＝ACAB
AD・AC.∵AE＝AB，
2∴AE＝AD・AC.
4．解：设ts时△QBP与△ABC相似．此时AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝(8－2t)cm.①当
PBBQ8－2t4t△PBQ∽△ABC时，＝＝，解得t＝2，∴当运动2 s时，△QBP与△ABC相ABBC816
似；
PBBQ8－2t4t②当△QBP∽△ABC时，＝，解得t＝0.8，∴当运动0.8 s时，△QBP与BCAB168△ABC相似．
点拨
1．C 点拨：△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△BOE∽△CAE，△COD∽△BAD.
DAAF22．A 点拨：∵∠ADC＝∠DFA＝90°，∠DAF＝∠DAC，∴△DAF∽△CAD.∴＝＝CAAD
AF・CA.排除D选项．同理CD＝CF・CA，DE＝AE・BE，排除B，C选项，无法得到AD＝BD・DC.故选A.
5．证明：∵BE，CD分别为边AC，AB上的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.又∠A＝∠A，
AEAB∴△AEB∽△ADC，∴.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. ADAC
222
篇5：相似三角形的判定定理是什么
相似三角形的性质
1、相似三角形的'对应角相等
2、相似三角形对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
3、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方；
4、相似三角形具有传递性：如果两个三角形分别于同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
6、全等三角形可以看做相似比为1的特殊的相似三角形，凡是全等的三角形都相似。
篇6：相似三角形的判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 (简叙为两角对应相等两三角形相似).
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似 (简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似 (简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似
篇7：相似三角形的判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
1、在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，则构成的三个三角形中，相似的是( )
A.△ABD∽△BCD B.△ABC∽△BDC C.△ABC∽△ABD D.不存在 2、下列说法正确的是( )
A.有一个30°角的两个等腰三角形相似 B.邻边比都等于2的两个平行四边形相似 C.底角为40°的两个等腰梯形相似 D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似 3、下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点.OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC。其中正确的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC. 求证:AB・BC=AC・CD.
5、在阳光下，身高1.6m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m．则旗杆的高度为 ．
6、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC//DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米。则A、B两村间的距离为 。7、如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的'距离为___________。
B
C D 8、在长 8cm，宽 4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相
似，那么留下的矩形的面积为＿＿＿＿cm2
。
9、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是（ ）
(A) S1 >S2 (B) S1 = S2 (C) S1
毫米，要把它
加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ A
PEN
B
QD
C
11、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。
12、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。
13、如图,甲楼AB高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面
,已知当地冬至中午12时,物高与影长的比是已知两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
AC
E
14、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图5，某女士身高165cm，下半身长x与身高1的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
15、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图6所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ） A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
16、如图8是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜, 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知 AB⊥BD，CD⊥BD, 且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米,那么该古城墙的高度是___________
图
6
图8
17、如图，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则
AD
??___???___?
___BCAB。
B 第6题图 第7题图
18、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，则BD：BC＝ 。 若BC＝6，AB＝10，则BD＝ ，CD＝ 。
19、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB， DM＝MP＝PA，则MN＝ ，PQ
B C A P 图9 第8题图 第9题图
20、如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝14厘米，BC＝12厘米，AC＝10厘米，那BE＝ 厘米。
21、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。
22、如图9，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP?1，D为AC上一点，若?APD?60°，则CD的长为____________ 23、如图10，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC．
图10
24、如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且AC＝6厘米，AD＝4厘米，求AB与BC的长
A
25、如图，△ABC中，若BC＝24厘米，BD＝
1
3
AB，且DE∥BC，求DE的长。
26、如图，RtΔABC中斜边AB上一点M，MN⊥AB交AC于N，若AM＝3厘米，AB：AC＝5：4，求MN的长。
B
27、如图16，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长． ．
图16
篇8：相似三角形判定定理的证明课件
相似三角形判定定理的证明课件
第23章 图形的相似
第5节 相似三角形判定
WY
复习回顾
全等判定：
(对应)边角
(6组量) 判定方法 角边角 角角边 边边边
边角边
1.两角分别相等
三角分别
相等, 三2.三边成比例 3.两边成比例且
夹角相等
4.两边成比例且
其中一边的对角相等 边成比例
判定定理一： 两角分别相等的两个三角形相似。
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。 ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC。 A A/ E
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC B C B/ C/ 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“有两个角对应相等的两个三角形相似。”
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
A
A/
E
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C B/ C/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“
有两个角对应相等的两个
三角形相似。”
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等的
两个 三角形相似.
判定定理三：三边成比例的两个三角形相似
?如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗? ?你用什么方法来支持你的判断?
AB?8 ,BC? ,AC?2 ;A?B??4,B?C??,A?C??2;
ABACBC2?????2.A?B?A?C?B?C?1
有一对 等角,找
另一对等角---用判定定理1 夹边成比例---用判定定理2 夹角相等----用判定定理2
有两边对应 边成比例,
第三边也成比例---用判定定理3
找
有一对直角---用直角三角形 相似的判定定理
B
D C B
D E
D C
C
B
B C
C
B
D
D
F
提示：易知?B1A1C1??B2A2C2
???90?45
由勾股定理得
A1B1?22，A1C1?4A2B2?2，A2C2?2
ABA2B2
??
ACA2C2
?△A1B1C1∽△A2B2C2
练习提高
思路分析： ∽ 先证明
先证明
上面的思路分析可以用一段顺口溜来表述：
证等积，化等比；
横找竖找定相似. 不相似，别着急； 等线等比来代替. ……
如何证明
△ABD∽△ACB
易知∠A是△ABD和△ACB 根据两角分别相等的 的.公共角，
两个三角形相似，只要再证明一对角相等即可。观察图形，猜想 ∠3=∠C ？
1
2
∠3=∠C
∠3=∠C ∠A= ∠A
△ABD∽△ACB
1
2
AC
?
AB
AB?AD?AC
AE=AB
AE2=AD・AC
2
①当∠1=∠C时
②当∠1=∠A时
（2）已知AD=3，BD=5，AE=4，求AC的长 两角分别相等的两个三角形相似（2） ∵△ADE∽△ACB （已证）
ADAE??ACAB
34??，解得：ACAC3?5
?6
2）已知AD=5，BD=2， 求AC的长
两角分别相等的两个三角形相似（2） ∵△ACD∽△ABC （已证）
ACAD
??ABAC
AC5??解得：AC??35(负值舍去)5?2AC
相似三角形的常见类型
篇9：相似三角形的判定定理及性质
相似三角形的判定定理
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
相似三角形的性质
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
篇10：相似三角形的判定定理及练习
相似三角形的判定定理及练习
(一)相似三角形
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的
应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC , 求证：△ABC∽△DEF.
B
E
F
D
A
判定定理2：如果三角形的两组对应边的.比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。 （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？ （2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．
强调：
①有平行线时，用预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由
.
例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC〃NB
强调：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）
③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD． ④补充射影定理。
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形
B
C
E
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
A
E
1
B
DC
B
A
4
D
E
DC
A
B
C
A
EDE
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
B
C
二、例题分析
1、下列说法不正确的是（ ）
A、两对应角相等的三角形是相似三角形； B、两对应边成比例的三角形是相似三角形； C、三边对应成比例的三角形是相似三角形； D、以上有两个说法是正确。 A 2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ ）
D A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 E
3、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△
ACP的有（ ） A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C
、AC?AP D、PC?AC
ABACBCAB
C
4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；ADAB
?③；其中正确的有 （ ） AEAC
A、3个 B、2个 C、1个 D、5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F 6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是
；
7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。
8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = _________cm
9、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
C
10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=
∠BAD
求证：△DBE∽△ABC
11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD A
D
CB
12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
A
D
E13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、
CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE?CG；（2）AN?DN?CN?MN. 14、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求证：AD=BF
B
F
C
15、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。
△BBCEECABCD中，?BAD?32和H°，分别以BC、CD为边向外作△DCFF
，使BE?BCDF，DC?EBC，?CDF??．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF． （1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求?EBH的度数．
篇11：三角形判定定理
全等的条件：
1、两个三角形对应的'三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS\"。
2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。
3、两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。
4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。
5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。
注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。
★ 三角形中线定理
★ 证明矩形判定方法
相似三角形判定定理的证明（精选11篇）
