抛物线的切线问题

时间：2023-08-19 03:34:50 作者：心态放四平八稳综合材料收藏本文下载本文

【导语】“心态放四平八稳”通过精心收集，向本站投稿了7篇抛物线的切线问题，下面是小编收集整理后的抛物线的切线问题，仅供参考，希望能够帮助到大家。

目录
第1篇：抛物线的切线问题第2篇：抛物线的十个最值问题第3篇：抛物线的十个最值问题第4篇：切线教学反思第5篇：切线教学反思第6篇：切线教学反思第7篇：抛物线对称轴公式

篇1：抛物线的切线问题

教学目标:

①充分利用信息技术,培养学生的探索精神,提高学生发现能力,判断能力

②培养学生从例题出发,挖掘内在联系,深入探究高考可能出现的抛物线的切线问题

重点:师生共同探索抛物线中切线相关的问题,充分利用数形结合,合理发挥猜想难点:如何充分挖掘抛物线的切线问题

思想方法:从特殊到一般, 类比归纳,数形结合

教学过程例题：（2008

山东高考）如图，设抛物线方程为

x?2py(p?0)，M为直线y??2p上任意一点，过M线，切点分别为A，B．求证：A，M，B

变式1:设A(x1,y1),试用x1,y1表示过A的'切线方程

变式2:若M(x0,y0)是抛物线外任意一点,问: A，M，B三点的横坐标是否成等差数列?

变式3:求过A(x1,y1), B(x2,y2)两点的直线方程

变式4:若M(x0,?)是抛物线准线l:y??任意一点,焦点为F, 问:A,B,F三点是否共线?

p2p2

变式5:若M(x0,?)是抛物线准线l:y??任意一点,焦点为F, 问:直线AM,BM有何位置关系?

p2p2

思考:已知抛物线y2=2px ,焦点为F,准线为l ,点A (? ,y0) 为其准线上一点,过A 作抛物线的两条切线,切点分别为B、C，D为准线与x轴的交点.有哪些结论?

篇2：抛物线的十个最值问题

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为 ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有 │AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则 │MA│m in = 证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M是抛物线上的动点,则 y (│MA│+│MF│)min =a+p/2. Q M A(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知 O F x (│MA│+│MF│)min =│AQ│ = a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2・(y2-y1)……………(1) 于是利用(1)式由两切线方程 y AM: y1y=p(x+x1), A BM: y2y=p(x+x2), M F x 易得M的坐标(x,y)适合 : B ∵ kMF・kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2・│AB│・│MF│≥1/2・2p・p=p2, 因其中等号当且仅当AB⊥x轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2. y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB得 A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) O x 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2…………(2) 于是 B (S△OAB)2 =1/4・│OA│2・│OB│2 &nb

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sp; 图3 =1/4・(x12+y12)・(x22+y22) =1/4・(x12+2px1)・(x22+2px2) =1/4・[(x1x2)2+2px1x2 (x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4・[(x1x2)2+2px1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3) 将(2)式代入(3)则得 (S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。证毕. 定理7.抛物线 y2=2px的内接等腰直角三角形的面积的最小值为4p2. 证明:设Rt△ABC内接于抛物线 y2=2px,点C为直角顶点,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线的对称性以及其开口方向,不妨设 y1＞0,y2＜y3≤0,并记直线CA的斜率为k,则由 y3-y1=k(x3-x1)=k(y32/2p －y12/2p) 及 y y3-y2=-1/k・(x3-x2)=-1/k・(y32/2p－y22/2p) A 可得 y1 =2p/k－y3 及 y2=-2pk-y3………………(1) O x 又由 │AC│=│BC│有 C B (x1-x3)2+(y1-y3)2=(x3-x2)2+(y3-y2)2 …………(2) 图4 将x1=y12/2p,x2=y22/2p,x3=y32/2p及(1)代入(2)可得 y3= …………………………(3) 从而据(1)、(3)可得 y1-y3= ………………………………………………………(4) 于是△ABC的面积 S=1/2・│AC│2 =1/2・[(x1-x3)2+(y1-y3)2]= ・・(y1-y3)2 = 2p2 ・・( )2 =2p2・・ ≥2p2・・ =4p2. 因当k=1且y3=0时上式等号成立,故等腰Rt△ABC面积的最小值为4p2.证毕. 定理8.设AB是抛物线的焦点弦, 准线与抛物线对称轴的交点为M, 则∠AMB的最大值为π/2. 证明:如图5所示, 设A1、B1分别是A、B在准线L上的 y 射影, F是焦点, 连A1F和B1F, 则知 A A (1)当AB⊥MF时, 显然有∠AMB＝π/2; M F X (2)当AB与MF不垂直时, 由│AA1│＞│A1M│知 B1 B ∠AMA1＞∠A1AM＝π/2－∠AMA1, 图5 ∴ ∠AMA1＞π/4; 同理 ∠BMB1＞π/4, 故有∠AMB＜π/2. 综合(1)、(2), 定理8获证. 定理9.设AB是抛物线 y＝a x2 (a＞0) 的`长为定长m的动弦, 则 Ⅰ.当m≥1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为（2ma-1)/4a ; Ⅱ.当m＜1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为 am2/4. 证明:设M(x0,y0), 将直线AB的参数方程 y (其中t为参数,倾斜角α≠π/2) A 代入y＝ax2 并整理得 M a(cosα)2・t2+(2ax0cosα-sinα)・t+(ax02-y0)＝0, B 故由韦达定理和参数 t的几何意义以及│AB│＝m 立得 0 X t1+t2＝－(2ax0cosα-sinα)/a(cosα)2 ＝0………① 图6 t1t2＝(ax02-y0)/a(cosα)2 ＝－(m/2)2 ……………② 由①解出x0并代入②整理

得 y0＝ (secα)2＋ (cosα)2－ ……③ 对③右边前两项利用基本不等式则得 y0≥2・－＝（2ma-1)/4a. 于是,令 (secα)2 ＝ (cosα)2, 得(cosα)2＝ . 因此, 当am≥1时,(y0)min＝（2ma-1)/4a ; 当0＜am＜1时, 记(cosα)2＝x , 则③式化为关于x 的函数式 y0＝f(x)＝・＋・x－ (0＜x≤1). 易证此函数是减函数, 故此时 (y0)min＝f(1)＝ .证毕. 定理10. 设AB是抛物线 y2＝2px的焦点弦, O为坐标原点, 则三角形OAB的面积的最小值为 p2/2 . y 证明:(1)当AB⊥x轴时, 显然有 SΔAOB＝p2/2 ; A (2)当AB不垂直x轴时, 设AB: y＝k(x-p/2), 代 O F x 入 y2＝2px并整理得 k2x2-(pk2+2p)x+k2p2/4=0. 于是 B 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦长公式和韦达定理得: 图7 │AB│＝ (1+k2 )[(x1+x2)2- 4x1x2] ＝＝ . 又顶点O到弦AB的距离 d＝ . 故此时 SΔAOB＝ │AB│・d＝・・＝・＞ . 综合(1)、(2), 定理10获证 .

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篇3：抛物线的十个最值问题

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下:

定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.

证明:不妨设抛物线的'极坐标方程为 ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.

定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.

证明:设抛物线极坐标方程为 ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有

│AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通径长,

其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕.

定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则

│MA│m in =

证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.

定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点,

F是焦点,M是抛物线上的动点,则

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篇4：切线教学反思

在新课程实施过程中，课程为师生发展提供了平台，我们教师应从“神圣”的讲台上走下来，走进学生；还要改变传统的“灌输”和“一言堂”，与学生平等的交流，构建平等、民主、和谐的课堂。教学中应积极引导学生自主学习、合作交流、探索发现，从而拓宽学习知识的渠道，拓展学生自主发展的空间；新课程强调促进每个学生身心的健康发展、培养良好的品德，它有助于确立学生在教学过程中的主体地位、激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习，终身学习的愿望和能力，从而达到以“一切为了每一位学生的发展”新课程理念。

我在教学人教版《九年级数学》“圆的切线”时，是这样设计的：首先在黑板上画一个圆，要求学生：“在现有的图形中从添加一条切线、两条切线、三条切线……，画出图形并说出相关的结论思考”；在独立完成的基础上小组内讨论汇总，不同组之间相互交流；然后有某组同学代表本组讲解本组的收获，其他小组补充；这样经过全体学生的共同努力，与切线有关的所有知识点都囊获其中。接着我让学生展开想象的翅膀，“用你的智慧和以前的学习经验，自己设计与切线有关的.题目（可以是课本中或你做过的题目的变式）”；仍然让学生小组合作交流，然后板演讲解。结果让我大吃一惊，学生的设计有易有难，有选择、填空，还有解答探索。整堂课课堂气氛异常活跃，学生踊跃发言，积极参与，争先恐后，高潮迭起。并且我把课堂全部还给了学生，给了他们充分的展示自己的时间和空间，体现了“一切为了每一位学生的发展”新课程理念。真正是“给学生一次机会，学生一定会还你一个惊喜”。

在教学中还存在以下的遗憾与不足：时间安排不合理，前面基础知识复习的时间过长，有点“前松后紧”；忽略了学习困难生的学习参与，没有有意“关爱、照顾”；教师的“导学”与“补漏”还做的不足；课堂小结处理匆忙，没有达到回扣目标，“画龙点睛”的作用。

再教学本节课时，充分发挥课前准备的时间，缩短基础知识复习的时间，为后面的学生自主探究提供更多的时间保障；要面向全体，关爱学习困难生，给他们一定的时间，使他们享受到学习的快乐；做好课堂总结，起到其概括回扣作用。相信用我的爱心，用我的智慧，用我的探索，用我的耕耘，给学生更多的探索学习的时间和空间，一定能优化我们的课堂，让课堂焕发活力，让学生找到自信，使学生愿学数学，学好数学，收获丰硕的数学成果。

篇5：切线教学反思

对于新人教版九年级数学的《切线长定理》的教学，由于和去年的华东师大版的内容有很大的差别。但是考虑到学生应该学到些有用的数学，所以将设计改变了些。以下是第三课时的设计思路。希望老师们能提出宝贵的意见.

切线问题，首先条数由一条、两条再到三条，先让学生动手操作化一条切线，通过折叠画使学生自然而然地想到利用轴对称性研究两条切线问题，从而发现切线长定理，然后进行三条切线问题的研究即三角形的内切圆，研究三角形的内切圆问题又让学生经历了从画到有关问题计算的过程，使学生领略了山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村的意境，领悟了化多为少，化难为易，化新为旧的研究问题的一般思路。

研究三角形的内切圆问题符合认知食物的一般规律，即遵循又一般到特殊，再又特殊到一般的原则，引导学生从实际问题抽象出数学问题后，从研究锐角三角形的内切圆到直角三角形、钝角三角形的内切圆，然后总结出画任何三角形内切圆的一般方法，任何三角形都又内切圆，其内切圆的圆心就是三角形的三条角平分线的交点，只需要画两条角平分线即可，从计算锐角三角形的.切线长，通过变式计算直角三角形的内切圆半径，总结出计算直角三角形的内切圆半径的一般规律，使学生养成良好的学习方法。

篇6：切线教学反思

本课例以“教师为引导，学生为主体”的理念出发，通过学生自我活动、教师适当引导得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。反思本节课，有以下几个成功与不足之处：

成功之处：

一、提出问题，注重联系

在新课引入上，打破以往单纯复习旧知的惯例，而是抓住新旧知识之间的联系，提出“目标性”问题，创设了问题情境，既抓住了学生的注意力，为学习新知做好了铺垫，又使教学从“定义”过渡到“判定定理”，显得自然合理。

二、动手实践，主体参与

本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。

三、合理设计课堂结构和问题

新课程理念提倡“把课堂还给学生，让课堂充满活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：(一)、在动手操作发现判定定理的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的结论。(二)、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且通过画图举反例帮助学生理解，利用文字、几何语言的相互转化熟悉定理的使用条件。(三)、应用命题。根据活动二的结论，我设计了两个不同类型的例题，得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和作垂直，证半径”。

四、丰富内容，序列深化

由于本节课是切线的判定和性质的第一节课，主要教学目的是掌握切线的判定定理，并能应用判定定理证明有关问题。因此，在安排完切线的判定定理和例1的教学内容后，我针对义务教育教材弹性化特点和学生的实际情况，引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的两种类型，以及证明这类问题时常见的两种辅助线作法。在安排本课例题之前，我设计了一组判断题，目的是检查学生对判定定理的掌握情况。这样从例题到练习的设计体现了教学内容的循序渐进原则和教学活动的开放性，又突出了本节课的重点和难点。

五、注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路，然后整理出来。

六、注意多种评价手段的运用。教学中面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。一个会心的微笑、学生的掌声、真诚的语言让学生时刻感觉到被认可，从而更有动力投入到下面的学习中。

不足之处：

1、在具体的教学中没有很好的体现教学设计，过多的干涉学生的思考，导致学生对问题的思考不充分。

2、课堂上师生的互动还不够充分，只是小组讨论、个别提问和全班齐答的形式。针对各个环节不同的教学目标，应该采用学生板演、小组展示、互改纠错等多种形式激发学生的积极性和参与性，体现学生主体地位。

3、在变式训练中，没有把握好时间，灵活分组完成练习，使得练习时间稍显仓促。

4、在举切线在生活中的实例时，仅仅是以语言表达的方式进行，没有把所举例子制作成幻灯片，给学生美的享受。