“柠檬老婆”通过精心收集，向本站投稿了9篇浅谈几类特殊函数的性质及应用，下面是小编为大家整理后的浅谈几类特殊函数的性质及应用，仅供大家参考借鉴，希望大家喜欢!
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篇1：浅谈几类特殊函数的性质及应用
浅谈几类特殊函数的性质及应用
【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。
【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分
1.引言
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。
2.特殊函数定义及性质证明
特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。
特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的'途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。
2.1伽马函数的性质及应用
2.1.1伽马函数的定义：
伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。
2.1.2Г函数在区间连续。
事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。
2.1.3，伽马函数的递推公式
此关系可由原定义式换部积分法证明如下：
这说明在z为正整数n时，就是阶乘。
由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....
2.1.4用Г函数求积分
2.2贝塔函数的性质及应用
2.2.1贝塔函数的定义：
函数称为B函数(贝塔函数)。
已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：
贝塔函数的性质
2.2.2对称性：=。事实上，设有
2.2.3递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有
即
由对称性，
篇2：函数的性质？
性质
性质一：对称性
数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴X和Y轴对称。
原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，距离原点相同的函数上点的坐标的坐标值互为相反数。
关于一点对称：这种类型和原点对称颇为相近，不同的是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任意一点。
性质二：周期性
所谓周期性也就是说，函数在一部分区域内的图像是重复出现的，假设一个函数F(X)是周期函数，那么存在一个实数T，当定义域内的.X都加上或者减去T的整数倍时，X所对应的Y不变，那么可以说T是该函数的周期，如果T的绝对值达到最小，则称之为最小周期。
篇3：反比例函数性质
图像及其性质：反比例函数的图象是双曲线，无限延伸但不与坐标轴相交。
当k＞0时，双曲线的`两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
待定系数法确定函数解析式：对于反比例函数，只要知道图象上任意一点的坐标，就可以用待定系数法确定函数解析式，即先设出函数解析式，然后将点的坐标代入确定系数k的值。
篇4：特殊函数成员
除了构造函数、复制构造函数和析构函数外，其他成员函数被用来提供特定的功能，一般来说，提供给外部访问的函数称为接口，访问权限为public，而一些不供外部访问，仅仅作为内部功能实现的函数，访问权限设为private，本节主要讨论函数成员的一些特殊用法。
静态成员函数
成员函数也可以定义成静态的，与静态成员变量一样，系统对每个类只建立一个函数实体，该实体为该类的所有对象共享。
静态成员函数体内不能使用非静态的成员变量和非静态的成员函数。
const与成员函数
第7章已经介绍了const在函数中的应用，实际上，const在类成员函数中还有种特殊的用法，把const关键字放在函数的参数表和函数体之间（与第7章介绍的const放在函数前修饰返回值不同），称为const成员函数，其特点有二：
只能读取类数据成员，而不能修改之
只能调用const成员函数，不能调用非const成员函数
其基本定义格式为：
（1）类内定义时：
类型 函数名(参数列表) const
{
函数体
}
（2）类外定义时，共分两步：
类内声明：
类型 函数名(参数列表) const；
类外定义
类型 类名::函数名(参数列表) const
{
函数体
}
篇5：反比例函数的性质
反比例函数性质
单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
面积
在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的.平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=|k|。
图像表达
反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。
k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象永不相交。
|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。
图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数 交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。
篇6：函数的基本性质
连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的.变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
篇7：正切函数的性质
8、对称性：无轴对称：无对称轴中心对称：关于点(kπ/2+π/2,0)对称（k∈Z）。
9、奇偶性：由tan（-x）=-tan（x），知正切函数是奇函数，它的图象关于原点呈中心对称。
10、图像（如图所示）实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(n/2)π（n∈Z）都是它的对称中心。
在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的'和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
法兰西斯·韦达(Fran?oisViète)曾在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中提出正切定理。现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。不过在没有计算机的辅助求解三角形时，这定理可比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。
正切定理：(a+b)/(a-b)=tan((α+β)/2)/tan((α-β)/2)
tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
tanA·tanB=1
篇8：函数性质知识点总结
函数性质知识点总结
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12 时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2∈D，且x12;
2 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);
4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;
3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
2 利用图象求函数的最大(小)值
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
2.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _
3.若函数 的定义域为 ，则函数的定义域是
4.函数 ，若 ，则 =
5.求下列函数的值域：
⑴ ⑵
(3) (4)
6.已知函数 ，求函数 ， 的解析式
7.已知函数 满足 ，则 = 。
8.设 是R上的奇函数，且当 时, ,则当 时 =
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
10.判断函数 的单调性并证明你的结论.
11.设函数 判断它的奇偶性并且求证： .
篇9：函数的简单性质练习题
函数的简单性质练习题
在初中，我们学习了二次函数，通过二次函数的图象，知道x在某个范围内取值时，y的值随着x的增加而增加(或减小)，在高中，我们学习了函数的符号语言，那么如何用符号语言来定量地描述函数这一增减性质呢？
1．若函数f(x)＝x3(xR)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是()
A．单调递减的'偶函数
B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数
D．单调递增的奇函数
解析：f(－x)＝(－x)3＝－x3在R上单调递减，且是奇函数．
答案：B
2．函数y＝1x＋2的大致图象只能是()
答案：B
3．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数．
答案：B
4．函数f(x)＝4x＋12x的图象()
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析：∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)．
f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：D
5．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋)上是减函数，那么下述式子中正确的是()
A．f－34f(a2－a＋1)
B．f－34f(a2－a＋1)
C．f－34＝f(a2－a＋1)
D．以上关系均不确定
答案：B
6．函数①y＝|x|；②y＝|x|x；③y＝x2|x|；④y＝x＋x|x|在(－，0)上为增函数的有______(填序号)．
答案：④
7．已知f(x)是奇函数，且x0时，f(x)＝x(1－x)，则x0时，f(x)＝________.
解析：当x0时，－x0，又∵f(x)是奇函数，
f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．
答案：x(1＋x)
8．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝________.
解析：a＝1时，f(x)不是奇函数，f(1)有意义，由f(－1)＝－f(1)可解得a＝12.
答案：12
9．已知函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵f(x)为偶函数图象关于y轴对称，即k＝1，此时f(x)＝－x2＋3，其单调递增区间为(－，0)．
答案：(－，0)
10．判断函数f(x)＝x2－2x＋3，x＞0，0，x＝0，－x2－2x－3，x＜0的奇偶性．
解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称．
①当x＝0时，－x＝0，
f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，
f(－x)＝－f(x)；
②当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
③当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
由①②③可知，当xR时，都有f(－x)＝－f(x)，
f(x)为奇函数．
能力提升
11．定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0且a1)，若g(2)＝a，则f(2)＝()
A．2 B.174 C.154 D．a2
解析：由条件得f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2即－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，两式相加得g(2)＝2.
a＝2，f(2)＝a2－a－2＝4－14＝154.
答案：C
12．设f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()
A．f(x)＋gx是偶函数
B．f(x)－gx是奇函数
C.fx＋g(x)是偶函数
D.fx－g(x)是奇函数
解析：∵f(x)和|g(x)|均为偶函数，
f(x)＋|g(x)|为偶函数．
答案：A
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且知其定义域为[a－1,2a]，则()
A．a＝3，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝0 D．a＝13，b＝0
解析：∵b＝0；又a－1＝－2a，a＝13.
答案：D
14．如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是()
A．增函数，最小值为－5
B．增函数，最大值为－5
C．减函数，最小值为－5
D．减函数，最大值为－5
解析：奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致，f(－3)＝－f(3)＝－5.
答案：B
15．函数y＝－x2＋|x|的单调减区间为________．
解析：作出函数的图象．
答案：－12，0和12，＋
特别提醒：切忌写成－12，012，＋
16．给定四个函数：①y＝x3＋3x；②y＝1x(x＞0)；③y＝x3＋1；④y＝x2＋1x.其中是奇函数的有________(填序号)．
答案：①④
17．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x，y(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，求证：f(x)为奇函数．
证明：由x＝y＝0得f(0)＋f(0)＝f0＋01＋00＝f(0)，
f(0)＝0，任取x(－1,1)，则－x(－1,1)f(x)＋f(－x)＝fx－x1＋－xx＝f(0)＝0.
f(－x)＝－f(x)，
f(x)在(－1,1)上是奇函数．
18．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
解析：∵f(x)在[－2,2]上为偶函数，
|1－m|＞|m|，|1－m|2，－1m＜12.
实数m的取值范围是－1，12.
★ 反比例函数的性质
浅谈几类特殊函数的性质及应用（共9篇）
